¿Hay alguna técnica para geométrica de las desigualdades para los triángulos? Por ejemplo, traté de usar Ravi sustitución
$a=x+y, b=y+z, c=z+x, s=x+y+z, s-a=z, s-b=x, s-c=y, A= \sqrt { xyz(x+y+z) }$
y
$r= \frac {A}{s} = \sqrt{\frac {xyz}{x+y+z}}),$
$R = \frac {abc} {4A}=\frac {(x+y)(y+z)(z+x) } {4 \sqrt { xyz(x+y+z) }}$
$\frac{r}{2R} = \frac {2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} $
$r_a= \sqrt { \frac {xy}{z} (x+y+z)},$
para demostrar la desigualdad
$\sum_{cyc}^{} \frac {r_a}{a} \ge \sqrt {3(2+ \frac{r}{2R})}$
que se convierte en
$\sum_{cyc}^{} \sqrt {\frac {xy}{z} \frac{x+y+z}{x+y}} \ge \sqrt {3 (2+ \frac {2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x) })}$
Entonces traté de demostrar que
$\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2}+ \sin \frac{C}{2} \le \sqrt {2 + \frac{r}{2R}} = \sqrt {2+ \frac {2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x) }}$
Desde
$\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2}+ \sin \frac{C}{2} \le \frac {3}{2}$
entonces tenemos que probar
$\frac {3}{2} \le \sqrt {2+ \frac {2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x) }}$
pero me quedé. Gracias