¿Es correcta mi intuición de "Si$p \mid ab$ luego$p \mid a$ o$p \mid b$"?

Question

Estoy estudiando la teoría de los números y me dieron este Teorema para tener en cuenta:

Si $p \mid ab$ $p \mid a$ o $p \mid b$

Tuve la siguiente intuición para el problema o de una prueba de tipo.

Intuitiva De La Prueba. Tomamos el supuesto de que $p$ puede , de hecho, se dividen $ab$. Entonces, esto implica que $p$ se divide por uno de los factores primos de a $ab$. Los factores primos de a $ab$ puede ser considerado como la unión de los conjuntos de números primos factores de $a$$b$. Esto significaría que $p$ está en el conjunto de los factores primos de a $a$ o $b$. Más concretamente:

Deje $S$ el conjunto de los números primos factores de $ab$, lo que nos define como la unión de los conjuntos de factores primos de a$a$$b$. Por ejemplo:

Deje $A$ el conjunto de los números primos factores de $a$ y deje $B$ el conjunto de factores primos de a $b$. A continuación, $S=A \cup B$

Ahora, si $p \mid ab$ $p$ debe pertenecer a $S$ ($p \in S$) esto, por lo tanto, implica que el $p \in A$ o $p \in B$.

Así que, esa es mi "intuitiva" a prueba. ¿Tiene sentido?

Todos los comentarios se agradece mucho.

Muchísimas gracias!

EDIT: $p$ es primo.

Answer 1

Tu intuición es correcta. Sin embargo , esta parte:

Los factores primos de$ab$ se pueden considerar como la unión de los conjuntos de factores primos de$a$ y$b$.

es (parte de) el contenido del teorema fundamental de la aritmética. La afirmación de que$p \mid ab$ implica$p \mid a$ o$p \mid b$ se usa típicamente como un lema para probar el teorema fundamental de la aritmética, y por lo tanto es circular usar el último para probar el primero.

Answer 2

Deje $\cal P(n) =$ el conjunto de factores primos de a $n$. Se esbozó el siguiente argumento: $ $ primer $\,p$

$$p\mid ab\!\iff\! p\in\color{#c00}{\cal P(ab) = \cal P(a)\cup \cal P(b)}\!\iff\! p\in\cal P(a)\ \ {\rm or}\ \ p\in \cal P(b)\!\iff\! p\mid a\ \ {\rm or}\ \ p\mid b$$

Pero no proporcionó ninguna prueba de la $\rm\color{#c00}{red}$ teorema. De hecho, lo contrario también es cierto, que el Primer Divisor de Propiedad implica la $\rm\color{#c00}{red}$ teorema. Una prueba de su equivalencia, o de una implicación entre ellos, no constituyen una prueba de cualquiera de ellos.

Probablemente usted tiene algunos antes de la intuición de que el $\rm\color{#c00}{red}$ es el teorema de la verdad de los teoremas que han aprendido acerca de la unicidad de la descomposición en factores primos de los números enteros (que, combinado con la (trivial) existencia de primer factorizations, conforman el Teorema Fundamental de la Aritmética). Si es así, entonces es esencial que explícitamente a hablar de cómo la $\rm\color{#c00}{red}$ teorema es una consecuencia lógica de estos antes de probados resultados, de modo que usted puede convencer al lector de que la prueba de que usted tiene en mente es riguroso.

Tal rigor es especialmente necesario para los resultados como este porque tenemos una fuerte empírica (vs lógico) intuición sobre los números enteros que muchas personas piensan que los resultados, como el de la unicidad de la descomposición en factores primos es "obvio" sin pruebas rigurosas de lo requerido. Sin ningún tipo de justificación explícita que se ofrecen en una prueba, no hay ninguna manera para que el lector juzgar su corrección. Se deja dudas: ¿el autor piensa que es "obvio", o lo que tienen en mente, una de las muchas común errónea de las pruebas?

Durante muchos siglos nadie se dio cuenta que la singularidad de primer factorizations de prueba. Al parecer no hay una concibió la posibilidad de nonuniqueness (o de los que hicieron el pensamiento de que la prueba era "obvio"). Esto no fue corregido hasta 1801, cuando Gauss este conectado enorme lógico brecha en Disq. Arith. Pero aún más que un par de siglos más tarde rigor todavía sufre. De hecho, Harold Davenport escribió que algunos Británicos libros de texto considera la singularidad de un "leyes del pensamiento".

Answer 3

Puede encontrar esta página extremadamente relevante: lema de Euclides

Su extracto this implies that p is divided out by one of prime factors of ab no está claro o es erróneo: está diciendo que si$n$ es un factor primordial de$ab$, entonces$n|p$ para algunos$n$.

De lo contrario, tu intuición se ve bien. Dustan hizo un comentario pertinente sobre la circularidad.