El aprendizaje de Campo de la Clase de Teoría: Local o Global en el Primer lugar?

Question

Me he dado cuenta de que parece ser que hay dos enfoques para el aprendizaje de campo de la clase de teoría. La primera es primero aprender acerca de los campos locales y locales de clase de la teoría de campo y, a continuación, probar los teoremas fundamentales sobre el campo de clase de teoría a partir de los correspondientes hechos locales. Esto a menudo significa que la clase de teoría del campo se da la idelic formulación, como los campos de la región ya han sido cubiertos.

Como alternativa, me voy a tomar un curso en el campo de la clase de teoría (que es la secuela de un curso de licenciatura en teoría algebraica de números y básica zeta/L-funciones) el cual se zambulle directamente en el campo de clase de teoría y seguirá el original (década de 1920) formulaciones (ideal teórico) y las pruebas de los resultados básicos.

Me pregunto ¿cuáles son las opiniones de la gente de los dos enfoques diferentes para la clase de teoría de campo. No se hacen más sentido comenzar locales y globales, o es una mejor idea para aprender el tema más históricamente? Le pregunté a mi profesor en la universidad de Princeton, pues era consciente de que la universidad de Harvard del CFT curso comienza con el local, él respondió que ya que lo que realmente les interesa son los campos de número de todos modos, es mucho más pertinente para proceder de inmediato con global de campo de la clase de teoría. Los pensamientos?

EDICIÓN/ACTUALIZACIÓN: Basada en los comentarios de este hilo y más experiencia, aquí es el enfoque que he decidido seguir:

1. Aprender global de la clase de teoría de campo utilizando la más elemental de las pruebas, después de algo como Janusz (o de otra fuente, si no te gusta Janusz del estilo)

2. Aprender el cohomology-pesado pruebas de local de campo de la clase de teoría. Particularmente me gusta Milne's notas para esto.

3. Continuar y aprender la prueba de los mundiales de campo de la clase de teoría utilizando cohomology de ideles. Sólo podía continuar en Milne, o pruebe los capítulos en Cassels-Frohlich

Answer 1

Me enteré de la clase de teoría de campo de la universidad de Harvard de dos semestres de la teoría algebraica de números de secuencia que Davidac897 aludido, así que realmente puedo hablar solamente de lo "local" primer enfoque (yo no sé ni lo que es un buen libro para seguir haciendo el otro enfoque sería, aunque he encontrado este interesante reseña de un libro que parece relevante para el tema en cuestión.).

Esta es una pregunta difícil de responder, en parte debido a local-primera/global-en primer lugar no es la única decisión pedagógica que necesita ser hecho cuando la enseñanza/aprendizaje de la clase de teoría del campo, pero más importante aún, porque la respuesta depende de lo que quieres obtener de la experiencia de aprendizaje de la clase de teoría de campo (por supuesto, también depende de lo que usted ya sabe). Clase de teoría del campo es un tema muy amplio y es muy fácil perder el bosque por los árboles (esto no es necesariamente una mala cosa; los árboles son bastante interesantes en su propio derecho). Aquí hay una serie de cosas diferentes que uno podría desear salir de un curso en el campo de clase de teoría, en ningún orden en particular (tenga en cuenta que esta lista es, probablemente, un poco sesgada basada en mi propia experiencia).

(a) un conocimiento de trabajo de los importantes resultados de (global) de la clase de teoría de campo y la capacidad de aplicarlos a las situaciones pertinentes. Esto es más o menos independiente de los elementos más abajo, ya que no se necesita para entender las pruebas de los resultados con el fin de aplicarlos. En la segunda Pete Clark recomendación de Cox, libro de los números Primos de la forma x^2 + ny^2/.

Ahora, en materia implicada en las pruebas de campo de la clase de teoría:

(b) la comprensión de la estructura y propiedades básicas de los campos locales y adelic/idelic cosas (no campo de la clase de teoría en sí misma, pero el material que puede ser enseñado en un curso que cubre el campo clase de teoría, si no es asumido como un requisito previo).

(c) el conocimiento de la maquinaria y las técnicas de grupo cohomology/Galois cohomology, o de las técnicas algebraicas utilizadas en no cohomology pruebas de campo de la clase de teoría. La mayoría de los "modernos" local-primeras presentaciones de clase de la teoría de campo de utilizar el lenguaje de Galois cohomology. (No es necesario, sin embargo; cada uno puede hacer todos los álgebra involucrados, sin cohomology. El cohomology es útil en la organización de la información involucrada, pero puede parecer un poco más de un mazazo para las personas con menos de fondo en álgebra homológica.)

(d) la comprensión de la clase de teoría de campo y las pruebas de los resultados de los involucrados (usualmente a través de Galois cohomology de los campos locales) como hace, por ejemplo, en Serre /Campos Locales/.

(e) comprensión de la clase de formaciones, es decir, el subyacente algebraicas/axiomática de la estructura que es común a los locales y globales de la clase de teoría de campo. (Lea la página de la Wikipedia sobre la "clase de formaciones" para una buena visión general.) En ambos casos los principales resultados de campo de la clase de teoría de seguir más o menos a partir de los axiomas de la clase de formaciones; lo principal que hace que los resultados globales de la clase de teoría de campo más difícil de probar que la versión local es que en el global del caso es sustancialmente más difícil de probar que la clase de formación de los axiomas son, de hecho, satisfecho.

(f) la comprensión de las pruebas de la "parte dura" de los mundiales de campo de la clase de teoría. Dependiendo de su planteamiento, estas pruebas pueden ser analítico o algebraicas (históricamente, la analítica de las pruebas que vino primero, que presumiblemente significa que eran más fáciles de encontrar). Si usted va la ruta analítica, usted también consigue:

(g) la comprensión de la L-funciones y su relación con la clase de teoría de campo (Chebotarev densidad y su prueba, puede venir aquí). Este es el punto sé nada, así que no voy a decir nada más.

Hay un par más de temas que considero que, a pesar de que no es necesario un curso que cubre el campo clase de teoría, puede llegar (y lo que hizo en los cursos que tomé):

(h) las conexiones con el grupo de Brauer (normalmente se hace a través de Galois cohomology).

(i) ejemplos de explícito campo de la clase de teoría: en el caso local esto se haría a través de Lubin-Tate grupos formales, y en el mundial de caso con un imaginario cuadrática de la base de campo sería a través de la teoría de curvas elípticas con complejo de multiplicación (j-invariantes y elíptica funciones; Cox del libro mencionado anteriormente es una buena referencia para este).

Obviamente, esto es mucho, y nadie lo va a dominar todos estos en un primer curso; aunque, en teoría, mis dos semestres de la secuencia de cubiertas de todo esto, siento que las principales cosas en las que me fuera de ella, (c), (d), (e), (h) e (i). (Yo ya lo sabía (b), he adquirido (a) más del desarrollo de la investigación relativa a la clase de teoría de campo antes y después de tomar el curso, y (f) y (g) nunca me enteré de que también). Más históricamente orientada al supuesto de que el tipo que mencionas probablemente la cubierta (a), (f) y (g) mejor, mientras omitir (b-e).

Cual de estos se prefiere depende mucho de qué tipo de matemáticas que uno está interesado. Si el principal objetivo es ser capaz de utilizar el campo de clase de teoría como en (a), uno sólo puede leer Cox libro o un tratamiento similar y saltarse la clase de teoría de campo. Algebraicamente inclinado gente va a encontrar la cohomology en los puntos (c) y (d) la pena de aprendizaje para su propio bien, y les resultará más fácil trabajar con el caso local en primer lugar. Asimismo, las personas que prefieren la teoría analítica de números o el estudio de la L-funciones en general probablemente prefieran los conocimientos que recibe de ir a través de (g).

No estoy seguro de que voy a llegar a una conclusión aquí: supongo que lo que quiero decir es ... que me llevó a la "moderna" local-en primer lugar, Galois cohomology de la ruta (donde por "moderno" en realidad significa "desarrollado por Artin y Tate en los años 50") y, siendo sin duda el algebraicas tipo, he disfrutado lo que he aprendido, pero todavía se sentía como yo no tienen un buen agarre en la imagen grande. (Nota: he aprendido el material fuera de Cassels y Frohlich en su mayoría, pero si tuviera que elegir un libro para alguien interesado en tomar el local de primera ruta probablemente me sugieren Neukirch del /la Teoría Algebraica de números/ lugar). Otros enfoques pueden dar una mejor vista de la gran imagen, pero puede ser difícil de mantener un ojo en la imagen grande cuando se va a través de los detalles escabrosos de la prueba de todo.

(PS, indicado en el cartel, a quien conozco personalmente: David, si usted está interesado en asesoramiento orientado hacia su situación específica, usted debe, por supuesto, se sienten bienvenidos a ponerse en contacto conmigo directamente sobre ella.)

Answer 2

No hay ningún camino real para la clase de teoría de campo, para entender bien se va a tomar un montón de tiempo y las exposiciones múltiples, no importa qué.

Dicho esto, cuando la cobertura de este material en los cursos en la UGA he tenido algo de éxito con el siguiente enfoque: en primer lugar examinar las declaraciones de los mundiales de campo de la clase de teoría en el ideal clásico de la teoría de la lengua, y dar un poco de motivación para estos resultados. Por ejemplo, Cox del libro de los números Primos de la Forma x^2 + ny^2 es bueno para esto: algunos apuntes para un curso basado en Cox del libro están disponibles en

http://www.math.uga.edu/~pete/primesoftheform.html

Entonces te recomiendo estudiar local de campo de clase de teoría desde la perspectiva de Galois cohomology. Para esto, Serre el libro de los Campos de la región sigue siendo un clásico; Jim Milne tiene algunas muy agradables notas de la conferencia así.

Sólo entonces aventurarse en el reino de idele de la teoría de la clase global la teoría de campo. Pero de nuevo, estos son sólo mis dos centavos.

Answer 3

Sí, como lo describen correctamente, hay dos enfoques principales para la clase de teoría del campo, la clásica (década de 1920) enfoque en términos de los ideales,y el posterior (Chevalley-Artin-Tate) enfoque en términos de ideles y cohomology. La primera lleva a las principales teoremas más rápida y fácilmente, pero el segundo te da mucho más. Afortunadamente, no son incompatibles, por lo que el aprendizaje el enfoque clásico será una gran ayuda si entonces decide aprender el segundo enfoque.

Answer 4

Como mucha gente ha indicado anteriormente, la clase de teoría de campo es grande y difícil, y el enfoque no se lo va a poner fácil.

Mi experiencia personal fue que era crucial para entender las declaraciones de los principales teoremas de campo de la clase de teoría bien antes de aprender cualquiera de las pruebas. Traté de aprender de la clase de teoría de campo de muchos libros y maestros antes de suceder, y creo que esto es lo que hizo que todo haga clic en para mí. En mi opinión, los resultados de la clase de teoría de campo son una hermosa cohesivo. A menudo es fácil ver cómo son consistentes con y parcialmente implican el uno al otro, mientras que a ver por qué uno de ellos es verdadero es muy difícil.

Para este propósito, me permito sugerir el aprendizaje global declaraciones antes de los locales, porque son las más elementales y porque es probable que tenga más experiencia con las extensiones de los campos de número de que con las extensiones de los campos locales. Creo que no importa tanto lo que el fin de aprender las pruebas.

Answer 5

Tal vez nadie comparta mi opinión, pero yo soy un fan de Neukirch del enfoque local y global de la clase de teoría de campo, como se presenta en su libro sobre la teoría algebraica de números. Neukirch construye un marco abstracto, incluyendo varios de los objetos y de las condiciones que inducen a un concepto de un campo de clase de teoría. Todo esto se basa en la situación de los campos locales y la correspondencia entre los elementos principales y Frobenius automorfismos de unramified extensiones. Por lo tanto, uno tiene una buena motivación para este enfoque y, además, es bastante elemental (aunque tengo que admitir que la verificación de la multiplicativity de la reciprocidad de morfismos es "sucio", pero uno puede creer esto y ahorrar un poco de tiempo). En particular, el grupo de cohomology no se utiliza. Neukirch, a continuación, se muestra cómo conseguir realmente local de campo de clase de teoría a partir de este enfoque abstracto. La verificación de las condiciones mencionadas anteriormente no es tan difícil (el teorema de existencia requiere trabajo adicional). Así que, creo que este es un gran camino para el concepto general de campo de la clase de teorías con local de campo de la clase de teoría que es el primer ejemplo y motivación. El punto es que desde el mismo resumen marco también se puede obtener global de campo de la clase de teoría. Este es, lamentablemente, más técnico, pero creo que esto también proporciona una gran cantidad de información.

Para mí el cohomological enfoque a través de Nakayama-Tate dualidad siempre fue un misterio. Creo que si uno no aprende grupo cohomology apareció implícitamente a través del álgebra consideraciones teóricas en el campo de clase de teoría, entonces seguirá siendo un misterio. Pero esto puede ser una consecuencia de mi falta de conocimiento...

Uno podría señalar que un inconveniente de Neukirch del enfoque es que no se obtendrá información acerca de la mayor cohomology de los grupos, que es importante en otros lugares. Pero como Neukirch del campo de la clase de axioma implica que el discreto módulo bajo consideración da una clase de formación, no estoy seguro de si esto es realmente cierto...