Prueba intersección es finito y no vacío

Question

Curso: Análisis (1er año del curso).

Pregunta:

Si $A_3$ es un subconjunto de a $A_2$ $A_2$ es un subconjunto de a $A_1$ y así sucesivamente... son todos finito, no vacío conjuntos de números reales, entonces la intersección $\bigcap_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ es finito y no vacío.

Mi tiro:

La prueba por contradicción. Suponga $\bigcap_{n = 1}^{\infty}A_n$ está vacía.

Deje $x$ ser parte de $A_{1}$. A continuación, $x \not \in A_{k}$ algunos $k>1$, porque de lo contrario $\bigcap_{n = 1}^{\infty} A_{n}$ no está vacía. Desde aquí me quedo atascado.

EDIT: Alguien erróneamente editado mi mensaje. El camino de la inclusión es opuesto.

Answer 1

Por contradicción, suponga$\cap_{n\in N}A_n=\phi.$ para cada$x\in A_1$% let$f(x)$ sea el menor$n\in N$% tal que$x\not \in A_n.$ Then$B=\{f(x):x\in A_1\}$ es un subconjunto finito de$N,$ entonces existe$m\in N$ tal que$\forall n\in B\;(m\geq n).$

Para tales$m,$% tenemos$\forall x\in A_1\;(x\not \in A_m)$ porque$\forall x\in A_1\;(x\not \in A_{f(x)}\supset$$ \cap_{j=f(x)}^m A_j\supset A_m).$ Pero luego$A_m\cap A_1=\phi$, contradiciendo$\phi \ne A_m \subset \cap_{j=1}^mA_j\subset A_1.$

Answer 2

Que $m$ sea el mínimo de los tamaños de lo conjuntos finitos no vacíos $A_1,A_2,\dots$. Puesto que son no vacías, cada $|A_k|\ge 1$, por lo tanto, $m\ge 1$.

Ahora, $m$ es el mínimo, así que uno de lo conjuntos de $A_k$ tiene en efecto elementos de $m$. Pero luego todas las $A_j$ $j\ge k$ también tiene elementos de $m$. $A_k$ Se repite hasta el final, y se trata de la intersección así.

Answer 3

Así que reivindico $\bigcap{n = 1}^{\infty} A{n} = A{1}$, que es finito. Recordar que $X \subseteq Y$ significa que si $x \in X$, entonces el $y \in Y$. Así que deje que $x \in A{1}$, entonces el $A{1} \subseteq A{2} \Rightarrow x \in A{2}, A{2} \subseteq A{3} \Rightarrow x \in A{3}$ y en que $x \in A{n}$ % todos $n$. Pero si $y \not \in A{1}$, entonces el $y \not \in \cap{n = 1}^{\infty} A{n}$. Así que un elemento es en $\bigcap{n = 1}^{\infty} A{n}$ si y sólo si se encuentra en $A{1}$, así $\bigcap{n = 1}^{\infty} A_n = A_1$, y $A_1$ es finito.