Quiero comenzar por aclarar su declaración un poco. La métrica de la declaración de la uniformización teorema es, para ser más precisos, "Cada conformación de la clase de métricas contiene una completa métrica de la curvatura escalar constante." El holomorphic declaración es "Todo simplemente conectado superficie de Riemann es biholomorphic a la unidad de disco, plano o esfera de Riemann."
Ahora por qué son equivalentes.
1) las superficies de Riemann son la misma cosa, tan suave, orientado a las superficies con una determinada conformación de la estructura. (El uso de la multiplicación por$i$ mapa de la tangente espacios para definir una base ortogonal y escribir la conformación de la estructura; por el contrario, la conformación, estructura y orientación que permiten definir una multiplicación por$i$ mapa, que proviene de una estructura compleja por la existencia de calorimetría de coordenadas). Holomorphic mapas con un valor distinto de cero derivados son la misma cosa como la conformación de mapas (mapas que preservar la conformación de la estructura), y por lo tanto biholomorphisms son la misma cosa como la conformación isometrías.
2) Deje $\Sigma$ ser una superficie de Riemann, con la conformación de la clase $[g]$. Supongamos $g' \in [g]$ tiene curvatura escalar constante y se completa. Pasar a la universalización de la cobertura $\tilde \Sigma$; $g'$ tira completa de métricas de esta, de nuevo con curvatura escalar constante. Ahora invocar el siguiente famoso teorema.
Teorema (de la Matanza de Hopf -): simplemente conectado completa de la superficie con curvatura escalar constante es isométrico a la 2-esfera con su ronda métrica; en el avión, con su métrica Euclidiana; o el disco con su métrica hiperbólica.
Por lo tanto $\tilde \Sigma$ es conformemente isométrica a uno de los tres ejemplos; por lo tanto es biholomorphic.
3) por el Contrario, supongamos que tenemos la holomorphic declaración. Ir a la métrica de la declaración es un poco más sutil, ya que el holomorphic declaración sólo se habla simplemente de las cosas conectadas. Pero la prueba es como sigue. Pase a $\tilde \Sigma$; sabemos que es la esfera, el plano o el disco. Sabemos que $\Sigma$ es un cociente de esta por un grupo de orientado a la conformación isometrías, pero queremos cociente por un honesto grupo de isometrías para obtener una constante escalar de curvatura de la métrica en el cociente. a) La esfera orientado a la conformación isometrías todos los fix algún momento, por lo tanto no actúan libremente. Así que si $\tilde \Sigma = S^2$, $\Sigma = S^2$. b) Conformación isometrías del plano son de la forma $f(z)=az+b$. Es trivial ver que estos tienen puntos fijos iff $a \neq 1$; así, vemos que la conformación isometrías sin puntos fijos son reales, honestos isometrías, y llegamos $\Sigma$ como un isométrico cociente del avión. c) Orientado a isometrías del disco (en realidad, mejor pensar en él como en la mitad superior del plano de aquí) forman el grupo $PSL_2 \Bbb R$; el orientado a la conformación isometría grupo es más grande, el grupo $GL_2(\Bbb R)/\pm I$. Es un resultado verdadero, que se me olvida cómo probar y olvidar una referencia para que cualquier grupo de $G \subset GL_2(\Bbb R)/\pm I$ que actúa sin puntos fijos es conjugado a un subgrupo de $PSL_2 \Bbb R$, por lo tanto demostrar el teorema.
Tiendo a pensar que parte de uniformización del poder y la belleza es el camino que une a estos dos declaraciones diferentes: uno es sobre la curvatura, y la otra es acerca de la geometría compleja! Así que creo que una buena comprensión de lo que está pasando aquí es clave para apreciar el teorema.
