Grupo de simetría del dodecaedro y sus subconjuntos

Question

Sea $G$ sea el grupo de simetría del dodecaedro. Indicar los subconjuntos del dodecaedro en los que $G$ actúa mediante todas las permutaciones posibles.

Sé que $G \simeq A_5 \times \mathbb{Z}_2$ . Su orden es $120=2^3\cdot3\cdot5$ por lo que puede haber $2,3,4$ ou $5$ subconjuntos en los que $G$ actúa por todas las permutaciones. No veo más posibilidades que $5$ Los cubos de Kepler que se inscriben en el dodecaedro.

¿Cómo resolver este problema con rigor?

Answer 1

El grupo $A_5$ es simple; los únicos subgrupos normales de $G = A_5 \times C_2$ son pues $A_5$ , $C_2$ , $\{1\}$ y $A_5\times C_2$ los cocientes correspondientes son $C_2$ , $A_5$ , $A_5\times C_2$ y $\{1\}$ . Estás preguntando por homomorfismos suryectivos $G\to S_n$ es decir, para los que $n$ podemos realizar $S_n$ como cociente de $G$ . Tenemos $\{1\}=S_1$ y $C_2=S_2$ ; los otros dos grupos no son isomorfos a ningún $S_n$ (nótese en particular que la acción sobre los cubos de Kepler no es por todas las permutaciones). Sólo $n = 1$ y $n = 2$ son posibles.

Si la pregunta es "encontrar todos los subconjuntos $E$ del dodecaedro tal que $G$ actúa sobre $E$ por todas las permutaciones" entonces la única posibilidad es $E=$ {el centro} (no hay órbita con sólo 2 elementos). Si más bien buscas $S_1,\dots,S_n$ tal que $G$ los permuta, entonces también podemos tener $n=2$ : set $S_1$ sea el $A_5$ -órbita de $P$ y $S_2$ la órbita de $-P$ donde $P$ es un punto genérico (de modo que $-P\notin S_1$ ).