Expansión de la serie "logaritmo multietapa" (por ejemplo $a^x+b^x+c^x=d$ )

Question

Como todo el mundo sabe, la solución a $a^x=b$ es $x=\log_a{b}$ . (Edición: Corregido de $x=\log_b{a}$ .)

Pero ¿qué pasa con $a^x+b^x=c$ ?

Definamos una función "multilogaritmo" como

$a_0^x+a_1^x+...+a_n^x=b$

$x=\text{Lg}\left(b\mid a_0, a_1,...,a_n\right)$ .

Por ejemplo, $3^x=40000$ da $x=\log_3\left(40000\right)$ y $2^x+e^x+3^x+10^x=20000$ daría $x=\text{Lg}\left(20000\mid 2, e, 3, 10\right)$ .

En primer lugar, ¿existe una serie infinita para un logaritmo que converja para todo ¿números positivos?

¿Y cuál sería una serie apropiada para el multilogaritmo?

¿Existe ya un nombre para este tipo de función?

Answer 1

Puede ser una idea para una secuencia (no una serie).

Supongamos (por el momento) que $1 <a_0 <a_1< \cdots < a_n$ , $b >n+1$ y que existe una solución.

Por lo tanto, queremos resolver $$\log(a_n^x)=\log\left(b-\sum_{i=0}^{n-1} a_i^x\right)$$ es decir, encontrar el cero de la función $$f(x)=x \log(a_n)-\log\left(b-\sum_{i=0}^{n-1} a_i^x\right)$$ Los iterados de Newton podrían ser una forma de construir una secuencia convergente (siendo perezosos, comencemos con $x_0=0$ (sabiendo de antemano que nos enfrentaremos a un rebasamiento de la solución ya que $f(0)\times f''(0) < 0$ - Teorema de Darboux-Fourier).

Déjame probar con $a_n=p_{n+1}$ y $n=10$ y $b=10^6$

Los iterados de Newton serían $$\left( \begin{array}{cc} k & x_k \\ 0 & 0.000000000 \\ 1 & 4.102824161 \\ 2 & 3.988842463 \\ 3 & 3.935316697 \\ 4 & 3.930965343 \\ 5 & 3.930944175 \end{array} \right)$$

Estoy seguro de que podemos construir un punto de partida mejor. Utilizando por ejemplo $x_0=\frac{\log(b)}{\log(a_n)}$ Los iterados de Newton serían casi los mismos $$\left( \begin{array}{cc} k & x_k \\ 0 & 4.102850256 \\ 1 & 3.988866252 \\ 2 & 3.935320622 \\ 3 & 3.930965381 \\ 4 & 3.930944175 \end{array} \right)$$

Answer 2

Para la función inversa, defina la notación $\;E(x | {\bf a}) = E(x | a_1, a_2,\dots,a_n) := \sum_{i=1}^n e^{a_ix}.\;$ Definir las sumas de potencia $\;p_k = p_k({\bf a}) := \sum_{i=1}^n a_i^k \;$ que se utilizan en la expansión en serie de potencias de nuestra función $\;E(x| {\bf a}) = \sum_{k=0}^\infty p_k({\bf a})\frac {x^k}{k!} = n + (a_1 + \dots + a_n)x + \cdots.\; $ La función inversa $\;L(x|{\bf a})\;$ se define implícitamente por $\;x = L( E( x | {\bf a}) | {\bf a}) = E( L( x | {\bf a}) | {\bf a}).\;$ Su expansión en serie de potencias viene dada por $$\;L( x | {\bf a}) = \frac{1}{p_1} \frac{(x-n)^1}{1!} - \frac {p_2} {p_1^3} \frac{(x-n)^2}{2!} + \frac {3p_2^2-p_1p_3} {p_1^5} \frac{(x-n)^3}{3!} - \cdots . $$ Tiene un radio de convergencia finito al igual que $\;\ln(x) = \frac{(x-1)^1}{1} - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots.\;$