En el capítulo 8 de Teoría de Conjuntos en el Tercer Milenio, de Jech, define la siguiente ordenación sobre conjuntos estacionarios: $S<T$ si el conjunto $\{\alpha\in T:\alpha\cap S\text{ is stationary}\}$ es estacionaria. Continúa afirmando que
La primera parece obvia, pero me cuesta ver por qué (2) y (3) son ciertas.
Creo que has malinterpretado Definición $\mathbf{8.18}$ . La citaré junto con la frase que la precede.
En el contexto de conjuntos cerrados no acotados y estacionarios utilizamos la expresión para casi todos $\alpha\in S$ para significar que el conjunto de todos los contrarios $\alpha\in S$ no es estacionario.
Definición $\mathbf{8.18.}$ Sea $S$ et $T$ sean subconjuntos estacionarios de $\kappa$ .
$$S<T\qquad\text{if and only if}\qquad S\cap\alpha\text{ is stationary for almost all }\alpha\in T\;.$$
El conjunto dado de $\alpha\in T$ es $\{\alpha\in T:S\cap\alpha\text{ is stationary}\}$ . Decir que casi todos $\alpha\in T$ están en este conjunto es decir que conjunto de $\alpha\in T$ que son no en este conjunto, es decir, el conjunto de contrario $\alpha\in T$ - no es estacionario. En otras palabras, $S<T$ si $S\cap\alpha$ es estacionario para casi todos los $\alpha\in T$ si el conjunto $\{\alpha\in T:S\cap\alpha\text{ is not stationary}\}$ no es estacionario.
Piense en los conjuntos no estacionarios como pequeño sus complementos como grande y conjuntos estacionarios como no pequeño (pero no necesariamente grande) . Cuando decimos que $\varphi(\alpha)$ es válida para casi todos los $\alpha\in S$ nos referimos a que el conjunto de $\alpha\in S$ para lo cual $\varphi(\alpha)$ es pequeño (no es estacionario); esto es más fuerte que decir que el conjunto de $\alpha\in S$ para lo cual $\varphi(\alpha)$ no es pequeño (es estacionario).
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