¿Hay impar-escota revestimientos de superficies no-orientable orientables superficies?

Question

Para cualquier no-orientable superficie (compacto,conectado) $X$ género $h$, $2n$- toldo de cubierta de $X$ por una superficie orientable $Y$ primer cubriendo $X$ $\Sigma_{h-1}$ (una cubierta doble) y, a continuación, tomar una $n$-toldo orientable cubierta de $\Sigma_{h-1}$ y la composición. También hay un $n$-toldo de cubierta de $X$ por un no-orientable múltiple de admisión, y una cubierta doble de la que, por un orientable colector. Estos dan isomorfo revestimientos.

Mi pregunta es que hacer de todos los revestimientos de la no-orientable superficies orientables superficies surgir en este mundo de la moda? Específicamente, quiero saber si hay impar sábana revestimientos de no-orientable superficies orientables superficies, y si no, ¿por que no hay ninguno. (Parece altamente improbable que hay para mí, y parece un ingenioso truco algebraico debe mostrar esto, pero no sé cómo hacerlo.)

Si esto puede hacerse sin cohomology, te lo agradecería.

Answer 1

No creo link de Daniel es realmente a propósito--Mednykh es solución de un problema mucho más difícil. Es bastante fácil demostrar que todos los mapas de cobertura de una superficie orientable [esto es en mucho mayor generalidad] un factores de superficie orientable a través de la cubierta de orientatation. Desde la cubierta de la orientación es una cubierta doble que se realiza.

Answer 2

La respuesta a su pregunta es " No. Un no-orientable superficie no admitir a un extraño sábana cubriendo una superficie orientable', y la prueba consiste más bien en profundidad el estudio de los grupos fundamentales de los que participan en los espacios. Véase, por ejemplo, aquí.

Dada la referencia arriba, pensé que sería un lugar de probar alguna de las más simples a las condiciones que deben ser satisfechos por un extraño sábana que cubre, que sólo se utiliza la característica de Euler.

---

Deje $N$ ser un no-orientable superficies y deje $M$ ser una superficie orientable en el que se admite una $2k+1$ cubierta de $N$. Supongamos $M$ género $g$ $N$ (no-orientable) género $l$.

De estándar de la característica de Euler de fórmulas, de conseguir que la $$\chi (N)=2-l\\ \chi (M)=2-2g\\ \chi (M)=(2k+1)\chi(N)$$

que da $$2g=2k(l-2)+l$$

Inmediatamente vemos, entonces, que $l$ debe ser para escribir $l=2j$ dando $$g=2k(j-1)+j$$ and so $g\equiv j\mod 2$.

Si $g$ es impar, a continuación, escribir $g=2g'+1$ $j=2j'+1$ tenemos $$g'=2j'(k+1)$$ and so $g'$ is even. So $g$ can not be congruent to $3\mod 4$.