Estoy interesado en saber por qué $$\int_0^{\pi/2} \sin x\,dx = 1.$$ I know how to do the integral the conventional way but am more interested in what makes radians special for this problem. If we instead compute $$\int_{0}^{90} \sin x^\circ\,dx,$$ we won't get $1$ como la respuesta.
¿Qué acerca de la definición de radianes hace que esta integral evaluar a $1$? Estoy buscando una intuitiva (presumiblemente geométrica) explicación.
La base de sus comentarios en respuesta a las respuestas, parecen estar pidiendo más bien ¿por qué radianes son "especiales" para dar la respuesta $1$.
Esta realidad todo se reduce a ¿por qué es que cuando usamos radianes, tenemos $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$ porque se trata de por qué $(\cos x)' = -\sin x$, y no alguna otra constante múltiples de $\sin x$.
Pensar sobre el círculo unidad, parametrizadas por \begin{align*} x&=\cos t,\\ y&=\sin t \end{align*} (en cualquiera de las unidades que desea de selección de $t$: radianes, grados centesimales, grados, cualquier cosa, no importa aquí).
Cada vez que parametrizar una curva, puede cambiar el parámetro de modo que se recorre la curva más lento o más rápido, o en una dirección diferente, o en una forma diferente; aquí, si reemplazar $t$$-t$, reajuste de parámetros de la unidad de círculo, de modo que se recorre en sentido horario, en lugar de hacia la izquierda. Si usted cambia de $t$$2t$, se recorre dos veces tan rápido, pero en la misma dirección; si reemplazar $t$$t+17$, luego de comenzar en otra parte; etc.
Hay, sin embargo, lo que uno podría llamar un "normalizado" parametrización, que normaliza la velocidad a la que se recorre la curva. Es el llamado "arco de longitud parametrización", y el objetivo es elegir el parámetro de $t$, de modo que, si $t$ varía de $a$$b$, entonces la longitud de la curva que se recorre es exactamente $b-a$; es decir, lleva exactamente una unidad de "tiempo" para recorrer una unidad de la "distancia".
El arco de longitud parametrización tiene un número de ventajas. Por ejemplo, si calcular el vector tangente tomando $(x'(t),y'(t))$, en la parametrización por longitud de arco de una curva el vector tangente siempre tiene unidad de longitud. También le permite encontrar la curvatura de la curva mucho más fácil que con un run-of-the-mill parametrización.
Bien, ¿qué es el arco de longitud parametrización de la unidad de círculo? Es exactamente el mismo en el que se lleva de $t=0$ $t=2\pi$a recorrer todo el círculo de una vez; es precisamente aquel en el que un ángulo mide por $t$ corta un arco circular de longitud $t$. Es, en definitiva, la medición de $t$ en radianes. Radianes dar la arclength parametrización de la curva, que es la razón por la que no hay molestos constantes de proporcionalidad cuando tomamos derivados de la coordinar las funciones de $\sin t$$\cos t$.
Ahora, no importa cómo medida de sus ángulos, habrá algunos de valor de $b$ tal que $$\int_0^b \sin_x t\,dt = 1.$$ (donde por $\sin_x t$ me refiero a "sine, la medición de la argumentación en $x$s"). La única pregunta es ¿cuál es el valor de $b$; existe por grados, radianes, grados centesimales, por medio de grados, cualquier cosa, en realidad. ¿Por qué llegar a ser exactamente $\pi/2$ para radianes? Porque cuando hacemos radianes, que dan a la parametrización por longitud de arco, la falta de constantes de proporcionalidad de rendimiento que la integral del seno es el negativo del cambio total en la $x$ de coordenadas (en otros el proceso de parametrización, sería una constante múltiples de este). Si comienzas a $t=0$, el punto de $(1,0)$, cuando el $x$-coordinar cambiado exactamente en una unidad? Cuando llegamos a $(0,1)$, es decir, cuando se $t=\pi/2$.
Creo que de la integral definida como dar de desplazamiento, y utilice el hecho de que la característica clave de radianes como la medición de un ángulo es que la longitud de arco del círculo unidad subtendido por un ángulo de radianes medida $x$ $x$ unidades.
Más específicamente, imagine que usted está viajando a lo largo de la unidad de círculo a una velocidad de 1 rad/s, comenzando en (-1,0) y en el movimiento de las agujas del reloj. Puesto que usted está en radianes, esto significa que usted está viajando a 1 m/s (a elegir una unidad de distancia) en el círculo. Cuando usted ha viajado $x$ unidades, su vector de posición es $(-\cos x, \sin x)$. El vector de velocidad debe ser tangente al círculo y por lo tanto es perpendicular al vector de posición. Por lo tanto el vector de velocidad está en la dirección de $(\sin x, \cos x)$. Debido a que la velocidad es de 1 m/s, el vector de velocidad de la que realmente es $(\sin x, \cos x)$ y no de otros escalares de varias de ella. Por lo tanto $\int_0^{\pi/2} \sin x dx$ al $x$ está en radianes es sólo el desplazamiento horizontal en el círculo unidad cuando se viaja $\pi/2$ radianes a lo largo del círculo del perímetro de (-1,0), (0,1). Desde el desplazamiento horizontal es 1, $\int_0^{\pi/2} \sin x dx = 1$.
Nota el efecto de radianes en hacer que la velocidad de 1 m/s. Si se viaja a 1 grado/s, la velocidad a lo largo del círculo sería $\frac{\pi}{180}$ m/s, y que le ha $\int_0^{90} \sin x \frac{\pi}{180} dx = 1$ como en Sivaram la respuesta.
Esta respuesta es similar a la respuesta de Marvis, pero creo que es conceptualmente un poco más limpio.
El $\sin(\theta)$ se define como la coordenada y del punto en el círculo unitario obtenido por partida en el origen y en movimiento a una distancia de $\theta$ a lo largo del círculo unitario en la dirección hacia la izquierda.
Así que vamos a investigar lo $\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin(\theta)$ se vería geométricamente.
Estamos tomando el intervalo de $[0,\frac{\pi}{2}]$ y creación de particiones en un millón de pedazos. En el círculo unidad, nos acaban de romper el cuarto de círculo en el primer cuadrante hasta en un millón de pedazos. A continuación, tenemos que multiplicar la longitud de cada uno de estos segmentos pequeños de la altura del extremo izquierdo de la línea de segmento, y la suma de todos estos valores. Necesitamos un geométricas comprensión de lo que el producto se ve como, es decir, ¿cómo podemos interpretar $\sin(\theta)\Delta\theta$ geométricamente?
Ya que estamos buscando a un segmento corto del círculo, $\Delta\theta$ se parece mucho a un segmento de la línea tangente a la circunferencia en ese punto. Por la geometría, la línea tangente a la circunferencia es perpendicular al radio, y así el pequeño triángulo que aparece en la imagen es similar a la de la grande. Esto nos permite mostrar que el $\sin(\theta)\Delta\theta$ es de aproximadamente el pequeño cambio horizontal en la imagen (esto es de hecho un pequeño cambio en coseno(\theta)).
Así somos en realidad sólo la acumulación de pequeñas distancias horizontales. El total de la distancia horizontal que se desplaza de a $\theta = 0$ $\theta =\frac{\pi}{2}$es 1, y así que es la integral.
Si usted tiene una sólida comprensión geométrica del teorema fundamental del cálculo, y un sólido geométrico comprensión de por qué la derivada de $\sin$$\cos$, entonces usted va a reconocer que la prueba anterior es en realidad tejer los dos narraciones.
Ver también http://mathoverflow.net/questions/8846/proofs-without-words/8932#8932
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