Sustitución trigonométrica $\tan{\frac{x}{2}}=t$ . ¿Qué es? $\cos{x}$ ¿entonces?

Question

Por ejemplo, la integral es: $$\int \frac{\sin{x}}{3\sin{x}+4\cos{x}}dx$$ Y utilizamos la sustitución: $\tan{\frac{x}{2}}=t$
Ahora, para conseguir $\cos{x}$ en términos de $\tan\frac{x}{2}$ , primero expresé $\cos^2\frac{x}{2}$ y $\sin^2\frac{x}{2}$ en temrs de $\tan\frac{x}{2}$ : $$\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}}=\frac{1}{\frac{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}}=\frac{1}{1+\tan^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{1+t^2}$$ $$\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos^2\frac{x}{2}=1-\frac{1}{1+t^2}=\frac{t^2}{1+t^2}$$ Ahora, utilizando la trigonometría: $\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$ que tenemos: $$\cos{x}=\bigg(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\bigg)=\frac{1}{1+t^2}-\frac{t^2}{1+t^2}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ lo cual es bueno, pero, no sé qué pasa con este siguiente procedimiento (primero, conseguir $\sin^2{x}$ , entonces usando la identidad trigonométrica $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ $\cos{x}$ ).
Así que, en primer lugar, expresando $\sin{x}$ en términos de $\tan\frac{x}{2}$ utilizando la identidad trigonométrica $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ :

$$\sin^2{x}=4\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}=4\cdot\frac{t^2}{1+t^2}\cdot\frac{1}{1+t^2}=\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}$$ Así que: $$\cos^2{x}=1-\sin^2{x}=1-\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}=\frac{t^4-2t^2+1-4t^2}{(1+t^2)^2}=\frac{(t^2-1)^2}{(t^2+1)^2}$$ Y, $\cos{x}$ es entonces: $$\cos{x}=\pm\frac{t^2-1}{t^2+1}$$ ¿Por qué recibo $\pm$ ¿Aquí? ¿He cometido un error en alguna parte? Gracias por su tiempo.

Answer 1

Espero que sea mejor escribir $$\sin x=A(3\sin x+4\cos x)+B\cdot\dfrac{d(3\sin x+4\cos x)}{dx}$$

y encontrar $A,B$ comparando los coeficientes $\sin x,\cos x$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Se trata de fórmulas muy conocidas: $$\sin x =\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x =\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \tan x =\frac{2t}{1-t^2}\quad(t\not\equiv\pm\frac\pi4\mod\pi).$$

Una prueba geométrica de las fórmulas:

Consideremos el círculo unitario y una línea que pasa por el punto $(-1,0)$ que tiene la ecuación $y=t(x+1)$ . Sea $M$ sea el segundo punto de interección de la recta con el círculo. Si $x$ es el ángulo polar de $M$ tenemos $t=\tan \frac x 2$ y las coordenadas de $M$ son $\;x_M=\cos x,\enspace y_M=\sin x$ . Ahora la ecuación de las abscisas de los puntos de intersección es $$(1+t^2)x_M^2+2t^2x_M+t^2-1=0,$$ del cual una de las raíces es $-1$ por lo que la otra raíz, por Relaciones de Viète es $x_M=-\dfrac{t^2-1}{t^2+1}$ . También se obtiene $\;\sin x=y_M=t\biggl(\dfrac{1-t^2}{t^2+1}+1\biggr)=\dfrac{2t}{t^2+1}$ .

Dicho esto, Reglas de Bioche estipulan que se debe establecer $u=\tan x$ . De hecho, $\mathrm d\mkern1mu x=\dfrac{\mathrm d\mkern1mu u}{1+u^2}$ Por lo tanto $$I=\int \frac{\sin{x}}{3\sin{x}+4\cos{x}}\mathrm d\mkern1mu x=\int\frac{u}{3+4u^2}\dfrac{\mathrm d\mkern1mu u}{1+u^2}.$$ Descomposición en fracciones parciales: $$\frac u{(3+4u^2)(1+u^2)}=\frac{4u}{3+4u^2}-\frac{u}{1+u^2},$$ obtenemos \begin{align*}I&=\frac12\bigl(\ln(3+4u^2)-\ln(1+u^2)\bigr)\\&= \frac12\ln\biggl(\frac{3+4\tan^2x}{1+\tan^2x}\biggr)=\frac12\ln(4-\cos^2x). \end{align*}

Answer 3

Preferiría tener una forma más elegante de hacerlo, pero esta forma al menos funciona:

Ha demostrado que $\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ y luego que $\sin^2 x = \dfrac{4t^2}{(1+t^2)^2}$ .

Observe que si comienza con $a=b=3$ y luego elevar al cuadrado ambos lados de $a=b$ para conseguir $a^2=b^2$ se puede deducir que $a = \pm b$ . Eso sólo significa que, o bien $a=b$ o $a=-b$ ; no significa que $a$ es igual a ambos $b$ y $-b$ . Por lo que se debe concluir que para cada valor de $x$ , ya sea $\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$ o $\sin x = \dfrac{-2t}{1+t^2}$ . ¿Podría ser igual a esa primera expresión para algunos valores de $x$ ¿y el segundo para los demás? De ser así, las cosas se complicarían un poco más. Pero ahora mire los gráficos de $x\mapsto\sin x$ y $x\mapsto \tan\dfrac x 2$ en el intervalo $-\pi\le x\le\pi$ . Lo que se ve es que $\sin x\ge0$ si $\tan\dfrac x 2\ge0$ y $\sin \le 0$ si $\tan\dfrac x 2\le 0$ . Por lo tanto, usted tiene $\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$ para todos los valores de $x$ . Ahora compara los gráficos de $x\mapsto\cos x$ y $x\mapsto \tan\dfrac x 2$ en ese mismo intervalo, y observe que $\cos x\ge 0$ si $-1\le\tan \dfrac x 2\le 1$ y $\cos x\le 0$ si $\tan\dfrac x 2\ge 1$ o $\tan\dfrac x 2\le -1$ . Ese es el comportamiento de $\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ y no de $-\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ . Que decide entre $\text{“}{+}\text{''}$ y $\text{“}{-}\text{''}$ .