Resto al dividir por 9

Question

Quisiera ayuda con esta pregunta:

Qué es el resto cuando

$$2^{2} + 22^{2} + 222^{2}+ \ldots + \underbrace{2222...22^{2}}_{49 \text{ times}} $$

está dividido por $9$

Answer 1

% Mod $9$, tenemos $$2^2+22^2+\cdots+22\ldots 2^2$ #% $ $$\equiv 2^2+4^2+6^2+8^2+1^2+3^2+5^2+7^2+0^2+2^2+\cdots$$ $$\equiv 5(2^2+4^2+6^2+8^2+1^2+3^2+5^2+7^2+0^2)+2^2+4^2+6^2+8^2$$ el % $ $$\equiv 5\cdot\frac{8\cdot 9\cdot 17}{6}+4+7+0+1\equiv 5\cdot 12\cdot 17+3\equiv 5\cdot 3\cdot (-1)+3\equiv 6$

Answer 2

Desde $10^k\equiv 1\pmod{9}$, su suma es

$$ 4\cdot\sum{k=1}^{49} k^2 = \left.\frac{2n(2n+1)(2n+2)}{6}\right|{n=49}=161700\equiv 1+6+1+7\equiv \color{red}{6}\pmod{9}.$$

Answer 3

¿$22222=2222*10+2$, a continuación, con las plazas, modulo $9$, tiene la secuencia $$2,4,6,8,1,3,5,7,0,2,4...,$ $ entonces con las plazas tiene la secuencia $$4,7,0,1,1,0,7,0,4,7,...$ $ puede tomar desde aquí?