Teorema de Peter-Weyl algebraica en el caso de $G=SL_2$.

Question

El teorema de Peter-Weyl algebraico dice que un grupo reductor lineal $G$ tenemos $\mathbb{C}[G] = \oplus_{V} V \otimes V^* $, donde se ejecuta sobre el conjunto de todas las representaciones irreducibles no isomorfos de $V$ $G$.

Me gustaría saber este resultado explícitamente en el caso de $G=SL_2$. Tenemos $\mathbb{C}[SL_2] = \mathbb{C}[a,b,c,d]/(ad-bc-1)$. ¿Cómo escribir explícitamente $\mathbb{C}[SL2] = \oplus{V} V \otimes V^* $ (escribir explícitamente la representaciones $V$)? Muchas gracias.

Answer 1

Deje $V$ ser una irreductible a la izquierda $G$-módulo. A través del isomorfismo $V \otimes V^* \cong \mathrm{End}_\mathbf{C}(V)$ obtenemos una inyección (por el doble centralizador teorema) $$V \otimes V^* \cong \mathrm{End}_\mathbf{C}(V) \rightarrow \mathbf{C}[G]$$ sending an endomorphism $\phi$ to the function $g \mapsto \mathrm{trace}(\phi g^{-1})$, where $g$ is regarded as an endomorphism of $V$. One checks that this is a morphism of $G$-bimodules, where for $g,h \in G$ the notation $g \phi h$ is self-explanatory and on a function $f \in \mathbf{C}[G]$ tenemos $$(gfh)(x)=f(g^{-1}xh^{-1}) \quad \hbox{for all $g,h,x \in G$}.$$ These are the inclusions in the Peter-Weyl theorem, so your question amounts to computing them explicitly for some realization of the irreps of $\mathrm{SL}_2$. As noted in the comments, the irreps of $\mathrm{SL}_2$ are indexed by non-negative integers $\lambda$, and the corresponding irrep $L(\lambda)$ is isomorphic to the space of homogeneous polynomials in two variables of degree $\lambda$. Un geométricas realización de la correspondiente inclusiones de la siguiente manera en el párrafo siguiente.

Hay un surjective (órbita) mapa de $G=\mathrm{SL}_2(\mathbf{C}) \rightarrow \mathbf{C}^2 \setminus \{0 \}$ definido por $$\left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \mapsto \left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right) =\left( \begin{matrix} a \\ c \end{matrix}\right).$$ This induces an isomorphism $G/U \cong \mathbf{C}^2 \setminus \{0 \}$, and hence an isomorphism of function spaces $$\mathbf{C}[\mathbf{C}^2 \setminus \{0 \}]=\mathbf{C}[x,y] \rightarrow \mathbf{C}[G/U]=\mathbf{C}[G]^U.$$ The image of the space of polynomials of degree $\lambda$ in $\mathbf{C}[G]$ is a copy of the $\lambda+1$-dimensional irrep of $G$.

Ahora ampliamos este para obtener todas las funciones en $G$. Hay una base de $L(\lambda)$ dada por el monomials $x^i y^{\lambda-i}$ indexados por los enteros $0 \leq i \leq \lambda$. Dados dos enteros $0 \leq i,j \leq \lambda$ la matriz correspondiente unidad de $E_{ij} \in \mathrm{End}(L(\lambda))$ pasa a la función $$f_{ij}(g)=\mathrm{trace}(E_{ij} g^{-1})=(g^{-1})_{ij},$$ where we regard $g$ as a matrix acting on $L(\lambda)$ and the subscript means take its $i,j$th matriz de coeficiente. Ahora a por la matriz $$g=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)$$ we see that $g^{-1}$ acts on a monomial $x^j y^{\lambda-j}$ a través de $$g^{-1}(x^j y^{\lambda-j})=(ax+by)^j(cx+dy)^{\lambda-j}$$ in which the coefficient of $x^i y^{\lambda-i}$ es $$f_{ij}(g)=(g^{-1})_{ij}=\sum_{k+\ell=i} {j \choose k} {\lambda-j \choose \ell} a^k b^{j-k} c^\ell d^{\lambda-j-\ell} $$

No sé de una mejor fórmula para una base para el espacio correspondiente $V \otimes V^*$. Pero puedo decir esto: si el filtro de la coordenada anillo por el total de la licenciatura en $a,b,c,d$ y el uso de la relación $ad-bc$ a reescribir la resultante de las funciones, luego al tomar el asociado calificado obtener el lapso de todos los monomials $a^ib^jc^k d^\ell$ del total de grado $\lambda$ y no divisible por $bc$ (debido a que se han reescrito estos en términos de $ad$ más bajas términos del grado).

Answer 2

La función de $V \otimes V^* \to \mathbb{C}[G]$ está dado por $(v, \lambda) \mapsto (g \mapsto \lambda(gv))$. Deje $G = SL_2$ y escribir las coordenadas en $SL_2$ $$ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right). $$ Como se muestra en el post, $Span_{\mathbb{C}}\{c, d\}$ es una representación de $G$. Deje $V = Span_{\mathbb{C}}\{c, d\}$ y tomar $e_1 = c = (1, 0)^T$, $e_2 = d = (0, 1)^T$. A continuación, $V^* = Span_{\mathbb{C}}\{e_1^*, e_2^*\}$ donde $e_i^*(e_j)=\delta_{ij}$. Vamos $v = e_1$, $\lambda=e_1^*$. A continuación,$(e_1, e_1^*) \mapsto (g \mapsto e_1^*(ge_1))$. Supongamos que $$ g = \left( \begin{matrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{matrix} \right). $$ $e_1^*(ge_1) = e_1^*(g_{11}, g_{21})^T = e_1^*(g_{11} e_1 + g_{21} e_2) = g_{11}$. Therefore $(e_1, e_1^*) \mapsto x_{11}$, where $x_{11}$ is the function on $SL_2$ whose value on a matrix $g$ in $SL_2$ is the $(1,1)$ entry of $g$. Similarly $(e_i, e_j^*) \mapsto x_{ji}$. We have $x_{11}x_{22} - x_{12} x_{21} = 1$ since $x_{ij}$'s are functions on $SL_2$.