Problema: encuentra$\lim_{x\to 0^{+}}x^{x^{x}}$.
Solución:$$\lim_{x\to 0^+}x^{x^{x}}=\lim_{x\to 0^+}e^{x^{x}\ln x}=\lim_{x\to 0^+}e^{e^{\ln x^{x}}\ln x}=\lim_{x\to 0^+}e^{e^{x\ln x}\ln x}$ $
¿Y ahora que debo hacer?
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Suzet
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rlpowell
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En general, existe un teorema del límite que si $f(x)\ge0$ todos los $x$ cerca de $c$ e si $\lim_{x\to c}f(x)$ $\lim_{x\to c}g(x)$ ambos existen y -- lo más importante -- no tanto igual a $0$, luego
$$\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}=(\lim_{x\to c}f(x))^{\lim_{x\to c}g(x)}$$
El teorema se aplica también a los límites laterales. (Nota, la condición de $f(x)\ge0$ es principalmente para garantizar que $f(x)^{g(x)}$ está bien definido.)
Ahora este teorema no se aplica a $\lim_{x\to0^+}x^x$, pero por L'Hôpital, o lo que sea, tenemos $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$, por lo que
$$\lim_{x\to0^+}x^x=e^{\lim_{x\to0^+}x\ln x}=e^0=1$$
y ahora el general teorema del límite no aplica a $f(x)=x$$g(x)=x^x$$c=0$, ya que el $\lim_{x\to0}x=0$ $\lim_{x\to0^+}x^x=1$ no son tanto $0$. Tenemos, simplemente,
$$\lim_{x\to0^+}x^{x^x}=(\lim_{x\to0^+}x)^{\lim_{x\to0^+}x^x}=0^1=0$$
Vale la pena señalar que el general es el teorema de nuevo inútiles (como se señaló para $x^x$) si se le pregunta sobre el siguiente nivel, $x^{x^{x^x}}$. Pero cuando el "no tanto $0$" se cumple la condición, es una práctica teorema de hecho.
egreg
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Lo estás haciendo bien; considere $$ \ lim_ {x \ to0 ^ +} x ^ x \ ln x = - \ infty $$ porque$\lim_{x\to0^+}x^x=1$, por lo que está delimitado en un vecindario correcto de$0$.
Por lo tanto$\lim_{x\to0^+}e^{x^x\ln x}=0$.
De una manera diferente, desde$\lim_{x\to0^+}x^x=1$, podemos encontrar$0<\delta<1$ tal que, para$0<x<\delta$, $$ \ frac {1} {2} \ le x ^ x \ le 2 $$ Tenga en cuenta que, para$0<x<1$, si$a<b$ entonces$x^a<x^b$ (toma logaritmos), entonces, para$0<x<\delta$, $$ x ^ 2 \ le x ^ {x ^ x} \ le x ^ {1/2} $$ El teorema de squeeze nos hace terminar.
