Evaluación $\int_0^\infty \sin (x^p) \, dx$ a través de la función gamma

Question

Yo estaba evaluando este complejo integral a través de la función gamma:

$\int_0^\infty \sin (x^p) \,dx$ $\;$para $p \gt 1$, así me lo expresó como una parte imaginaria de $\int_0^\infty \exp(-ix^p) \, dx$ $\;$para $p \gt 1$

• La fórmula de la función gamma es $\Gamma (z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx $

He utilizado la sustitución $-y^{1/p}=xi$, $\;$ $\;$ $dx= \frac 1 p y^{\frac{1}{p}-1}i \, dy$ $\;$ $\;$y $\;$ $\;$ $\frac {1}{p} = \alpha$

A continuación, $\int_0^\infty \alpha i y^{\alpha-1}e^{-y} \, dx = \alpha i \Gamma (\alpha) = \ i \frac {1}{p} \Gamma (\frac {1}{p})$

La solución, según mi libro de texto es $\ \frac {1}{p} \Gamma (\frac {1}{p}) \sin (\frac {\pi}{2p})$

Pero creo $\sin (\frac {\pi}{2p})$ es correcto si he a ${i}^p$, pero yo entendía $i$.

Mi solución es, a continuación,$\ \frac {1}{p} \Gamma (\frac {1}{p}) \sin (\frac {\pi}{2}) =\frac {1}{p} \Gamma (\frac {1}{p})$.

¿Me olvido de algo importante?

EDITAR

Traté de calcular esta integral para$p = 2$, y el libro de texto es correcto, pero ¿por qué?

Answer 1

Primero puede sustituir $u=x^p$:\begin{align} I=\int_0^\infty \sin (x^p)\,dx&=\frac{1}{p}\int_0^\infty u^{\frac{1}{p}-1}\sin u \,du \ \ &=\frac{1}{p} \Im\int_0^\infty u^{\frac{1}{p}-1} e^{iu}\,du \ \ &=\frac{1}{p}\Gamma\left(\frac{1}{p}\right) \Im i^{1/p} \ \ &=\frac{1}{p}\Gamma\left(\frac{1}{p}\right) \Im e^{\frac{i\pi}{2p}} \ \ &=\Gamma\left(1+\frac{1}{p}\right)\sin\frac{\pi}{2p} \end {Alinee el} también puede evaluar el integral mediante una propiedad útil de la transformación de Laplace:\begin{align} \int_0^\infty f(x)\,g(x)\,dx=\int_0^\infty \mathcal{L}^{-1}{f(x)}(s)\mathcal{L}{g(x)}(s)\,ds \end{align} entonces,\begin{align} \int_0^\infty \sin (x^p)\,dx&=\frac{1}{p}\int_0^\infty u^{\frac{1}{p}-1}\sin u \,du \ \ &=\frac{1}{p\,\Gamma\left(1-\frac{1}{p}\right)}\int_0^\infty \frac{s^{-\frac{1}{p}}}{s^2+1}\,ds \qquad s^2\mapsto u \ \ &=\frac{1}{2p\,\Gamma\left(1-\frac{1}{p}\right)} \int_0^\infty \frac{u^{-\frac{1}{2}(\frac{1}{p}+1)}}{1+u}\,du \ \ &=\frac{1}{2p\,\Gamma\left(1-\frac{1}{p}\right)} \mathcal{B}\left[\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{p}\right),\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{p}\right) \right] \ \ &= \frac{1}{2p\,\Gamma\left(1-\frac{1}{p}\right)} \Gamma\left(\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{p}\right)\right) \Gamma \left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{p}\right) \right) \ \ &=\frac{\pi}{2p\,\Gamma\left(1-\frac{1}{p}\right)}\sec\left(\frac{\pi}{2p} \right) \ \ &= \frac{\pi \sin \left(\frac{\pi}{2p} \right)}{p\,\sin \left(\frac{\pi}{p} \right)\,\Gamma\left(1-\frac{1}{p}\right)} \ \ &= \frac{1}{p} \Gamma \left(\frac{1}{p}\right) \sin \frac{\pi}{2p} \ \ &= \Gamma \left(\frac{1}{p}+1\right) \sin \frac{\pi}{2p} \end {alinee el} no dude en preguntar si tienes alguna pregunta!