Estoy trabajando en la eficiencia de un algoritmo y quería saber si había una manera de mostrar a continuación es cierto. Como ejemplo lo hice con $n = 10$ y $n=4$ y era verdad. Quiero saber si es siempre verdadera pero no está seguro de cómo probarlo.
$$n^{n-1}
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Supongamos que $(ak){k=1}^n$ es una serie con $ak \le a{k+1}$ $1 \le k \le n-1$. Que $A=\frac1{n}\sum_{k=1}^n a_k$ sea la media de la serie.
Entonces $a_1 \le A \le a_n$ con igualdad si y solamente si $a_1 = a_n$.
De la prueba.
Desde $ak \le a{k+1}$, entonces el $a_j \le a_k$ $j \le k$ %. En particular, para cualquier $1 \le k \le n$, $a_1 \le a_k \le a_n$ %.
$\begin{array}\ a_1-A &=a1-\frac1{n}\sum{k=1}^n ak\ &=\frac1{n}\sum{k=1}^n (a_1-a_k)\ &\le 0\ \end{matriz} \ $
desde $a_1 \le a_k$. Hay igualdad si y sólo si $a_1 = a_k$ % todos $k$.
Del mismo modo,
$\begin{array}\ a_n-A &=an-\frac1{n}\sum{k=1}^n ak\ &=\frac1{n}\sum{k=1}^n (a_n-a_k)\ &\ge 0\ \end{matriz} \ $
desde $a_n \ge a_k$. Hay igualdad si y sólo si $a_n = a_k$ % todos $k$.