Media de la serie siempre es menor que el último elemento

Question

Estoy trabajando en la eficiencia de un algoritmo y quería saber si había una manera de mostrar a continuación es cierto. Como ejemplo lo hice con $n = 10$ y $n=4$ y era verdad. Quiero saber si es siempre verdadera pero no está seguro de cómo probarlo.
$$n^{n-1}

Answer 1

Tenga en cuenta que $n>1,$ lo siguiente es cierto:\begin{align*} n^{n-1}&

Answer 2

Siempre que tenga su $n>1$, $0<n cada="" dividiendo="" el="" n="" por="" que="" resultado="" sigue="" y="">De hecho, lo mismo es cierto para cualquier aumento secuencia positiva $a_k$: $$ a_n

</n>

Answer 3

Supongamos que $(ak){k=1}^n$ es una serie con $ak \le a{k+1}$ $1 \le k \le n-1$. Que $A=\frac1{n}\sum_{k=1}^n a_k$ sea la media de la serie.

Entonces $a_1 \le A \le a_n$ con igualdad si y solamente si $a_1 = a_n$.

De la prueba.

Desde $ak \le a{k+1}$, entonces el $a_j \le a_k$ $j \le k$ %. En particular, para cualquier $1 \le k \le n$, $a_1 \le a_k \le a_n$ %.

$\begin{array}\ a_1-A &=a1-\frac1{n}\sum{k=1}^n ak\ &=\frac1{n}\sum{k=1}^n (a_1-a_k)\ &\le 0\ \end{matriz} \ $

desde $a_1 \le a_k$. Hay igualdad si y sólo si $a_1 = a_k$ % todos $k$.

Del mismo modo,

$\begin{array}\ a_n-A &=an-\frac1{n}\sum{k=1}^n ak\ &=\frac1{n}\sum{k=1}^n (a_n-a_k)\ &\ge 0\ \end{matriz} \ $

desde $a_n \ge a_k$. Hay igualdad si y sólo si $a_n = a_k$ % todos $k$.

Answer 4

$n \ge 2$.

$\frac{\sum{k=0}^{n} {n^k}}{n}= {\sum{k=0}^{n} {n^{k-1}}}=$

$\frac 1n + \sum_{k=0}^{n-1}n^k=$

Y no es evidente y conocido

$n^{n-1}

$\sum_{k=0}^{n-1}n^k

$n*n^{n-1} = n^n$.

Y que $\frac 1n