¿La función no lineal continua e impar$f(x)$ satisface$f(2x) = 2f(x)$?

Question

Considere el siguiente problema:

Es cierto, que cualquier extraño función continua satisfacción de $f(2x) = 2f(x)$ es lineal?

Hace la siguiente función (que he encontrado aquí) puede servir como un contraejemplo?

$$ f(x) = \begin{cases} x\cos(2\pi \log_2(x)), & \mbox{if } x>0 \\ 0, & \mbox{if } x=0 \\ x\cos(2\pi \log_2(-x)) & \mbox{if } x<0 \end{casos} $$

Si se puede, hay alguna "simple"? Quiero decir, que la tarea fue dada en el examen, y sería bastante difícil llegar a una función de este tipo en su propio. Por lo que la estrategia se puede construir una similar contraejemplo a partir de cero? Se siente como una función lineal a trozos podría hacer el truco, pero no puedo entender, cómo se construye.

Answer 1

$f$ NO tiene que ser lineal.

Permita que$g:[1,2]\to\mathbb R$ sea continuo y arbitrario, de modo que$g(1)=g(2)$ y extienda$g$ a$(0,\infty)$, de modo que$g|_{[2^{k},2^{k+1}]}$ se defina como $$ g (x) = g (2 ^ {- k} x), \ quad x \ en [2 ^ {k}, 2 ^ {k +1}]. $$ Entonces $$ f (x) = xg (x), \ quad (0, \ infty), $$ satisface$f(2x)=2f(x)$, es continuo, se extiende continuamente a$x=0$, con$f(0)=0$, y se extiende, como una función impar continuamente en$\mathbb R$, como$f(-x)=f(x)$, para$x<0$.

Answer 2

Deje$\, g(x) := f(x)/x. \,$ Entonces la ecuación$\, f(2x) = 2f(x) \,$ lleva a$\, g(2x) = g(x), \,$ una relación de recurrencia. Podemos definir$\, g(x) \,$ en$\, 1 \le x \le 2 \,$ para ser continuos con$\, g(1) = g(2). \,$ Ahora extender a todos$\, x>0 \,$ usando la relación de recurrencia. Del mismo modo para$\, x<0. \,$