Si$M$ es equivalente a cero, ¿debe ser$C$ y$C/M$ equivalente?

Question

Deje $C$ ser una cadena compleja sobre un anillo conmutativo $R$. Deje $M$ ser una subcadena de $C$ tal que $M$ es de cadena equivalente al cero de la cadena de complejos. Debe $C/M$ $C$ ser la cadena equivalente ?

Gracias

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Motivación: I m sólo en comparación con la situación a la categoría de módulos sobre un anillo o de la categoría de grupos de la categoría de los complejos de la cadena (con morfismos mod a cabo por la cadena de homotopies). En la categoría de módulos sobre un anillo o de la categoría de grupos de esta declaración, obviamente, sostiene.

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Responder a los comentarios pidiendo una aclaración:

Dos complejos de la cadena de $A$ $B$ son llamados de la cadena equivalente iff existe la cadena de mapas de $f\colon A\to B$ $g\colon B\to A$ tal que existe una cadena de homotopy entre el $gf$ $id_A$ y una cadena de homotopy entre el $fg$ $id_B$

Como por el esfuerzo: traté de demostrar la declaración, pero no podía, como parece que no hay forma natural de tener una cadena de mapa de$C/M$$C$. Ya me esperaba que si hay un contraejemplo a esta "natural" en la pregunta sería patológico contraejemplo así que me vino a preguntar aquí para obtener la ayuda de personas que tienen más conocimientos que yo sobre los complejos de la cadena.

Answer 1

Tome complejos de grupos abelianos:

ps

ps

ps

Entonces M es isomorfo al complejo$$C:= \dots\longrightarrow0\longrightarrow\mathbb{Z}\stackrel{\times2}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\longrightarrow0\longrightarrow\dots,$ $ que es contráctil (homotopy equivalente al complejo cero), pero no hay mapas distintos de cero$$M:= \dots\longrightarrow0\longrightarrow\mathbb{Z}\stackrel{\times2}{\longrightarrow}2\mathbb{Z}\longrightarrow0\longrightarrow\dots,$, entonces$$C/M:= \dots\longrightarrow0\longrightarrow0\longrightarrow\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\longrightarrow0\longrightarrow\dots.$ y$$\dots\longrightarrow0\longrightarrow\mathbb{Z}\stackrel{\text{id}}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\longrightarrow0\longrightarrow\dots,$ son no homotopy equivalente.