Al resolver un sistema lineal, ¿cuándo usaría una transformación de Fourier frente a una de Laplace? No soy un matemático, así que la pequeña intuición que tengo me dice que podría estar relacionada con las condiciones límite impuestas a la solución que estoy tratando de encontrar, pero soy incapaz de afirmar esto rigurosamente o encontrar una referencia que lo discuta. Cualquier ayuda sería apreciada. Gracias.
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JasonSmith
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Este es un punto de vista heurístico desde el punto de vista de la ingeniería. Debo confesar que no conozco del todo las razones matemáticas.
Supongamos que quiere considerar $f(t)$ en función del tiempo, $t$ . Imagínese que mientras miramos la dirección de los positivos $t$ -el gráfico de $f(t)$ es como mirar atrás hacia el camino $f$ que se ha dejado en el tiempo. Si no te importa el futuro, es decir, el caso $t < 0$ entonces tiene sentido utilizar la transformada de Laplace, porque la integral de la transformada va de $0$ a $\infty$ . Por otro lado, si también te preocupa el futuro, tiene más sentido considerar la transformada de Fourier. La integral de la transformación va aquí de $-\infty$ a $\infty$ .
Así que si quieres incluir el futuro en tu análisis, la transformada de Fourier es el camino. Esto tiene sentido, por ejemplo, en aplicaciones de ingeniería eléctrica, donde se consideran señales sinusoidales y se tiene una idea de lo que va a ocurrir.
Sin embargo, en el caso de algunos sistemas físicos, sólo se tienen los datos de lo que ha ocurrido hasta entonces. Y quieres que todo tu análisis se base en esto, sin predecir el futuro. Entonces las transformadas de Laplace son el camino.
Si no te importa el futuro, es decir, si puedes declarar $f(t) = 0$ para $t < 0$ entonces las transformadas de Laplace y de Fourier coinciden: La transformada de Fourier no es más que la transformada de Laplace evaluada en el eje imaginario. Tales sistemas se denominan sistemas causales: la respuesta depende sólo de lo que ha ocurrido hasta ahora. Se trata de una terminología procedente de los sistemas de control o del procesamiento de señales.
Para la ingeniería de sistemas de control, la estabilidad de las redes eléctricas, etc., la transformada de Laplace define una función de transferencia más natural, y es más fácil de tratar, y los polos y ceros nos indicarían inmediatamente la estabilidad de la red considerada. Aquí utilizamos la transformada de Laplace en lugar de la de Fourier, ya que su integral es más sencilla.
Para los casos en los que se observan los "componentes de frecuencia", el "espectro", etc., el análisis de Fourier es siempre el mejor. La transformada de Fourier es simplemente el espectro de frecuencias de una señal. Si sabes que las exponenciales sin/cos/complejas se comportan bien, también podrías querer expresar una función en términos de éstas y observar cómo se comporta entonces.
Otro ejemplo es la resolución de la ecuación de onda. El propio Fourier utilizó las series/transformaciones de Fourier para los problemas de conducción del calor.
kixx
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Las transformadas de Laplace aparecen en la física debido a la causalidad: una función de respuesta $R(t-t')$ que da la respuesta en el momento $t$ a una fuerza en el momento $t'$ debería desaparecer para $t\lt t'$ para no violar la relación temporal entre causa y efecto. Porque $R(t)=0$ para $t<0$ su transformada integral es la de Laplace y no la de Fourier.
Renaud Bompuis
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Para un uso práctico típico es esencial saber qué propiedades tiene el sistema que se intenta describir. Por lo general, antes de resolver las ecuaciones, se pueden obtener algunas ideas sobre la posible forma de la solución, sólo por medio de consideraciones de simetría. Así que hay que considerar una u otra transformación no por la eficacia formal, sino porque la solución tiene que tener una interpretación práctica. ¿Qué haces con la solución si no tienes ninguna interpretación, por ejemplo, para los coeficientes de las ecuaciones que obtienes?
La transformación de Fourier a veces tiene una interpretación física, por ejemplo, para algunos modelos mecánicos en los que tenemos soluciones cuasi-periódicas (normalmente debido a la simetría del sistema) las transformaciones de Fourier nos dan modos normales de oscilaciones. A veces, incluso para un sistema no lineal, los acoplamientos entre tales oscilaciones son débiles, por lo que la no linealidad puede ser aproximada por series de potencia en el espacio de Fourier. Muchos sistemas tienen una simetría espacial discreta (cristales) entonces las soluciones de las ecuaciones tienen que ser periódicas por lo que la FT es bastante natural (por ejemplo en la mecánica cuántica). Con cualquiera de los modos normales se puede vincular la energía finita, a veces el momento, etc. invariantes del movimiento. Así que durante la evolución, para el sistema lineal, tales modos no se acoplan entre sí, y el sistema en uno de estos estados se queda en él para siempre. Cada sistema físico lineal tiene su espectro de modos normales, y si se acopla con alguna fuente de energía aleatoria externa (ruido blanco), su evolución pasa por tales estados desde la menor energía posible hasta la mayor.
Depende de las condiciones iniciales y de los valores de contorno y de las restricciones, pero para los sistemas finitos y las ecuaciones lineales, la transformada de Fourier proporciona una transformación de una ecuación diferencial lineal a una matricial (que casi siempre es soluble y tiene una teoría y un significado claros), mientras que la transformada de Laplace pasa de una ecuación diferencial lineal a una algebraica, con todas sus ventajas y desventajas.
La transformada de Laplace te da la solución en términos de exponentes decrecientes, por lo que es bastante útil en los procesos de relajación, pero no tiene una interpretación física, normalmente no hay invariantes conectados a ningún "vector" de dicha representación, no hay una versión discreta de dicha transformada con significado físico. Se utiliza en varios problemas de ingeniería, como los circuitos eléctricos, la teoría de colas, etc. Muchas ecuaciones de los procesos de difusión tienen soluciones fáciles de la transformada de Laplace.
Definitivamente sería más fácil aconsejarle qué método de solución utilizar si describiera cuál es el proceso que está tratando de describir.
Referencias: intente buscar en Google tales palabras: espectro de energía, modos normales, estados propios, vectores propios en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales - la resolución de ED por medio de transformadas integrales de forma práctica suele describirse en libros sobre Métodos Matemáticos en Física, y está relacionada con las funciones de respuesta, la teoría de la distribución, los espacios funcionales de Hilbert y Banach, etc. Es un área muy amplia. Es más, si se pregunta en un contexto específico (por ejemplo, en el contexto de los procesos estocásticos, o la mecánica cuántica), entonces probablemente se esté buscando alguna interpretación de dichas transformaciones y no para la teoría formal. Estas diferencias a veces son complicadas porque la mayoría de los libros de matemáticas se centran en teoremas de existencia, etc., que para muchas aplicaciones son obvios (siempre que tengamos un modelo que funcione y esté bien formulado, que es lo que normalmente tenemos).
¡Es muy difícil conseguir una referencia útil sin el conocimiento del área de aplicación, porque su son es un método tan frecuentemente utilizado! De forma análoga, en el ámbito de las matemáticas es como preguntar por la aplicación de los espacios métricos, o por el teorema de Stokes y su significado: ¡es un área tan amplia que probablemente se pueda incluir en cualquier otra área que encaje! Casi todos los libros de Mecánica Cuántica tienen una explicación e interpretación del método de Fourier. La transformada de Laplace se utiliza en todos los libros sobre procesamiento de señales. Muchos de ellos tienen una introducción muy buena y práctica a dichos métodos. Yo prefiero los libros físicos, por ejemplo Byron Fuller "Mathematical Methods of Physics" para el nivel intermedio.
Aquí tienes muchas, muchas referencias: http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html Aquí tienes otra lista: http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/FourierTransforms.html
Marika
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Durante muchos años he intentado obtener una buena respuesta para la relación de las transformadas de Laplace y Fourier. Muchas de las explicaciones sólo mencionan que la relación es que s=a+jw, por lo que la transformada de Fourier se convierte en un caso especial de la transformada de Laplace. Triste explicación. Mejores explicaciones tratan de que la Laplace se usa para estudios de estabilidad y la Fourier se usa para respuestas sinusoidales de sistemas. Usando esa información, concluyo que como los sistemas son estables si la parte real de s es negativa, es decir hay un transitorio que se desvanece en el tiempo, en esos casos, es suficiente usar Fourier. Por supuesto que se perderá la visión de la parte transitoria. Laplace debería ser capaz de determinar la respuesta completa de un sistema, ya sea estable o inestable, incluyendo las partes transitorias.
mvw
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El patrón de solución detrás es así:
Utilizar una transformación es como cambiar el punto de vista. En algunos casos el problema puede resultar tan fácil bajo el nuevo punto de vista, que eres capaz de resolver el problema allí y luego tomas la solución obtenida y transformas de nuevo a tu punto de vista original.
Aquí podríamos intentar resolver una ecuación diferencial, buscando así alguna función (o distribución) que cumpla la ecuación diferencial y las condiciones adicionales.
La transformada de Laplace tiene esta bonita propiedad:
$f'(t) = s F(s) - f(0)$
Esto significa que una ecuación diferencial transformada tendrá la derivada $f'(t)$ sustituido por el término anterior, por lo que una ecuación simple con sólo ocurrencias de $F(s)$ y la condición de inicio $f(0)$ quedan. Esta ecuación la podemos resolver para la incógnita $F(s)$ mediante álgebra simple.
El cambio de punto de vista de $t$ -dominio a $s$ -El dominio facilitó el problema de la resolución de la ecuación diferencial al sustituirla por una ecuación algebraica.
Lo más complicado es volver a transformar la solución encontrada $F(s)$ a $f(t)$ aplicando una transformación inversa de Laplace (o buscándola en alguna tabla).
La transformada de Fourier tiene una propiedad similar:
$f'(x) = 2\pi i \,t\, F(t)$
que en cierto modo transforma el operador diferencial $\partial_x = \partial / \partial x$ en una multiplicación con la variable $t$ .
Se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales como la ecuación de difusión, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Klein-Gordon, etc., convirtiéndolas en ecuaciones algebraicas, como $\Delta = \sum \partial_i \partial_i$ se transforma en $\sum x_i x_i$ .
De nuevo lo resuelves y vuelves a transformar.
