Esta es una pregunta que yo tenía en un examen de un tiempo atrás, y fue bastante curiosidad.
"Vamos a $m$ el valor de la medida de Lebesgue en la unidad de la plaza de $I^2 = [0,1]^2$. Definir dos asignaciones $S,T: I^2 \to I^2$ como sigue: $S(x,y) = (y,x)$ $T(x,y) = (x,\bar{y})$ donde $\bar{y} = y + \frac{1}{\sqrt{2}}$ si $y \leq 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\bar{y} = y + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1$ lo contrario. Ahora supongamos que $A \subset I^2$ es un subconjunto medible tal que $S(A) = A$$T(A)=A$. Mostrar que cualquiera de las $m(A) = 0$ o $m(A)=1$."
Mis pensamientos/intento: $S$ es un reflejo de $I^2$ a lo largo de la diagonal y $T$ es una traducción de la $y$ coordinar ""$\frac{1}{\sqrt{2}}$. Pero si tuviera que traducir $y$ demasiado lejos; es decir, dejar a $I^2$, bucles alrededor de lo que podemos pensar de estos isometrías que actúa sobre un cilindro, donde se identifican la parte superior y la parte inferior de la plaza.
Por otro lado, $STS(x,y) = ST(y,x) = (x + \frac{1}{\sqrt{2}},y)$ (o la otra expresión, dependiendo de lo $x$ es). Por lo $STS$ es un horizonal la traducción, que también bucles alrededor de así que ahora, parece que debemos pensar de $S,T$ isometrías en el toro.
Ahora, este conjunto $A$ es invariante bajo tanto en los mapas como es $m$ lo hace intuitivo sentido de que debe ser medida en la teoría de grande o pequeño. Desde $\frac{1}{\sqrt{2}}$ es irracional, si aplicamos nuestro horizontal o vertical traducciones a un punto de $p \in A$ y considerar su órbita, creo que su órbita debe ser densa en $I^2$.
Así que supongo que $0 < m(A)$. Parece que, por un lado, se puede "cubrir" todos los de $I^2$ por las traducciones de $A$ desde $A$ tiene medida positiva; es decir, su órbita debe tener medida total $1$. Por otro lado, $A$ es invariante bajo$S,T$, por lo que es igual a su órbita. No estoy claro sobre cómo probar esto con rigor.
Mi corazonada es usar algo como Lebesgue densidad. La definición de la densidad de $A$ a un punto de $p$ (cuando el límite existe)
$$D_A(p) = \lim_{r \to 0}\frac{m(A \cap B(r,p))}{m(B(r,p))}.$$
La Densidad de Lebesgue Teorema dice que si $E \subset \mathbb{R}^n$ es cualquier conjunto de Borel, entonces para casi todos los puntos $p \in E$, $D_E(p) = 1$ y para casi todos los $p \notin E$, $D_E(p) = 0$. Podemos suponer $E$ a Borel, ya que hay un teorema que básicamente nos permite escribir $E$ algunos $G_\delta$ conjunto menos un null conjunto y $G_\delta$ conjuntos de Borel.
Así que vamos a $p \in A$ ser un punto donde $D_A(p) = 1$. Deje $\mathcal{O}(p)$ ser la órbita conjunto de $p$ bajo $S,T$. Parece que para cada $q \in \mathcal{O}(p)$, $D_A(q) =1$ debido a que puede tomar una pequeña bola de $p$ y que se cruzan con $A$. Ahora aplicar algunas finito combinación de $S,T$ a esta intersección de conjunto; se mueve alrededor, pero aún así terminar en el conjunto $A$ y ya que estas son transformaciones rígidas, la medida de esta intersección debe ser el mismo. Por otra parte, este debe contener para cada bola pequeña por lo que la densidad debe todavía ser alrededor de 1 $q \in \mathcal{O}(p)$.
Pero $\mathcal{O}(p)$ es denso en $I^2$, topológicamente. Así, para cada punto en un denso conjunto en $I^2$, la de Lebesgue de la densidad en ese punto es 1.
Pregunta: ¿Podemos concluir que desde la
$$D_A(p) = \lim_{r \to 0}\frac{m(A \cap B(r,p))}{\pi r^2} = 1,$$
por lo suficientemente pequeño $r$, para cada $q \in \mathcal{O}(p)$, $m(A \cap B(r,q)) \approx \pi r^2$, para el mismo $r$? Si es así, podemos decir, que dado que la medida de $A$ a nivel local es positivo en un denso conjunto, a continuación,$m(A) = 1$?
Problema: Si $q \in \mathcal{O}(p)$ pasa a ser una esquina o un borde de punto en la plaza, entonces tal vez la densidad debe ser $\frac{1}{2}$ o $\frac{1}{4}$.
