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Muestran que

Estoy tratando de mostrar que$$\int_0^{\pi/2} \frac {\sin(u+a\tan u)} {\sin u}\,\mathrm d u=\frac {\pi} 2$ $

¿Se puede hacer esto a través de la integración del contorno? No estoy seguro de qué contorno elegir. He probado sustituciones como$\pi/2 - u$ pero no me han ayudado. He intentado diferenciar con respecto a$a$ también. Obtuve$I'(a)=\int_0^{\pi/2} \frac {\cos(u+a\tan u)} {\cos u}\,\mathrm d u$ y sé$I(a)=\int_0^{\pi/2} \frac {\cos(u-a\cot u)} {\cos u}\,\mathrm d u$

Esto surgió en un examen de fin de curso de un estudiante universitario, por lo que cualquier solución no debería ser demasiado avanzada.

5voto

Daniel Castro Puntos 113

$$I(a)=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(u+a\tan u)}{\sin u}du$$

por el uso de este identitie $$\sin(x+y)=\sin x \cos y + \cos x \sin y$$ así $$I(a)=\int_0^{\pi/2}(\cos(a \tan u)+\frac{\sin(a\tan u)}{\tan u})du$$ vamos $$u=\tan^{-1}v$$ entonces $$I(a)=\int_0^{\infty}\frac{\cos(av)+\frac{\sin(av)}{v}}{(1+v^2)}dv$$ diferenciar ambos lados con respecto a $a$ $$I'(a)=\int_0^{\infty}\frac{\cos(av)-v \sin (av)}{(1+v^2)}dv$$

ambos

$$\int_0^{\infty}\frac{\cos(av)}{(1+v^2)}dv ,,,,,,,,,\int_0^{\infty}\frac{v \sin (av)}{(1+v^2)}dv$$

puede ser que se muestra aquí y aquí en el método real

eso es llevar a $$I'(a)=0$$

$$\Rightarrow I(a) \text{ is const}$$

$$I(a)=I(0)=\pi/2$$

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