¿Podemos rechazar una hipótesis nula con intervalos de confianza producidos por muestreo en lugar de la hipótesis nula?

Question

Me han enseñado que podemos producir una estimación del parámetro en la forma de un intervalo de confianza después de muestreo de una población. Por ejemplo, el 95% de intervalos de confianza, con no violó supuestos, debe tener un 95% de tasa de éxito de los que contienen cualquiera que sea el verdadero parámetro que estamos estimando es en la población.

I. e,

1. Producir una estimación de punto a partir de una muestra.
2. Producir un rango de valores que, en teoría, tiene un 95% de probabilidad de que contenga el verdadero valor que estamos tratando de estimar.

Sin embargo, cuando el tema se ha convertido en la prueba de hipótesis, los pasos fueron descritos como la siguiente:

1. Asumir algunos parámetros como la hipótesis nula.
2. Producir una distribución de probabilidad de la probabilidad de conseguir diversas estimaciones puntuales dada esta hipótesis nula es verdadera.
3. Rechazar la hipótesis nula si el cálculo del punto llegamos sería producidos a menos de 5% de las veces, si la hipótesis nula es verdadera.

Mi pregunta es la siguiente:

Es necesario para la producción de nuestros intervalos de confianza utilizando la hipótesis nula en orden a rechazar la nula? ¿Por qué no acaba de hacer el primer procedimiento y obtener nuestra estimación para el verdadero parámetro (no explícitamente mediante el uso de nuestra hipótesis de valor en el cálculo del intervalo de confianza), a continuación, rechazar la hipótesis nula si no cae dentro de este intervalo?

Esto parece lógicamente equivalente a mí de forma intuitiva, pero me temo que me estoy perdiendo algo muy fundamental ya que es probablemente una razón por la que se enseña de esta manera.

Answer 1

Sí, usted puede reemplazar una prueba de hipótesis (la comparación de la muestra con una hipotética distribución de los resultados del análisis) por una comparación con un intervalo de confianza calculado a partir de la muestra. Pero indirectamente un intervalo de confianza es ya una especie de prueba de hipótesis, a saber:

• Usted puede ver los intervalos de confianza como ser construido como un rango de valores para los cuales un $\alpha$ nivel de prueba de hipótesis tendría éxito y fuera del rango de $\alpha$ nivel de prueba de hipótesis se produciría un error.

La consecuencia de dicha gama es que el rango de error de una fracción $\alpha$ del tiempo.

Ejemplo

Estoy usando una imagen de una respuesta a la siguiente pregunta: Intervalos de Confianza: cómo formalmente lidiar con $P(L(\textbf{X}) \leq \theta, U(\textbf{X})\geq\theta) = 1-\alpha$

Es una variación de un gráfico de Clopper-Pearson. Imagina el caso de 100 ensayos de Bernoulli, donde la probabilidad de éxito es $\theta$ y se observa el número total de éxitos $X$.

Tenga en cuenta que:

• En la dirección vertical que ver la prueba de hipótesis. E. g. para un determinado valor hipotético $\theta$ se rechaza la hipótesis de si la medición de la $X$ está por encima o por debajo de la de color rojo o verde líneas de puntos.

• En la dirección horizontal que ver Clopper-Pearson intervalos de confianza. Si por cualquier observación X utilizar los intervalos de confianza, a continuación, usted se equivoca sólo el 5% del tiempo

  (porque sólo observar la X, en el que la base de un 'mal' de intervalo, el 5% del tiempo)

Answer 2

Un problema simple, a modo de ejemplo, está dada por las pruebas para la media de una población normal con conocidos de la varianza $\sigma^2=1$. A continuación, un pivote - una cantidad cuya distribución no depende del parámetro, está dada por $\bar{Y}-\mu\sim N(0,1/n)$. Los valores críticos de $z_{\alpha/2}$ satisfacer, en este simétrica caso, $\Phi(-z_{\alpha/2})=\alpha/2$$\Phi(z_{\alpha/2})=1-\alpha/2$.

Por lo tanto, \begin{eqnarray*} 1-\alpha&=&\Pr\{(\bar{X}-\mu)/(1/\sqrt{n})\in(-z_{\alpha/2},z_{\alpha/2})\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}\leqslant(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}\leqslant z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{z_{\alpha/2}\geqslant(\mu-\bar{X})\sqrt{n}\geqslant -z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu-\bar{X}\leqslant z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu\leqslant \bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})\ni\mu\} \end{eqnarray*} así que $$ (\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})$$ es un intervalo de confianza de nivel $1-\alpha$.

Al mismo tiempo, el evento en primera línea de la pantalla es, precisamente, también en el caso de que la hipótesis nula no es rechazada por este $\mu$. Ya que el resto sólo contiene equivalente reformulaciones, la c.yo. de hecho, contiene todos los $\mu$ para que la nula no es rechazada, y no se hace referencia a "bajo el nulo" es necesario.

Aquí es un gráfico análogo a Martijn +1 de visualización con el objetivo de mostrar lo que se conoce como la dualidad entre intervalos de confianza y pruebas. $C$ denota el intervalo de confianza pertenecientes a $\bar{x}^*$ $A(\mu_0)$ la aceptación de la región pertenecientes a algunas hipótesis de $\mu=\mu_0$.