La transformación lineal de los vectores gaussianos normales

Question

Tengo dificultades para demostrar la siguiente afirmación. Se da en un trabajo de investigación encontrado en Google. Necesito ayuda para demostrar esta afirmación.

Dejemos que $X= AS$ , donde $A$ es una matriz ortogonal y $S$ es gaussiano. El comportamiento isotópico de la gaussiana $S$ que tiene la misma distribución en cualquier base ortonormal.

¿Cómo es $X$ Gaussiano después de aplicar $A$ en $S$ ?

Answer 1

Como no has puesto un enlace al documento, no conozco el contexto de esta cita. Sin embargo, es una propiedad bien conocida de la distribución normal que las transformaciones lineales de los vectores aleatorios normales son vectores aleatorios normales . Si $\boldsymbol{S} \sim \text{N}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ entonces se puede demostrar que $\boldsymbol{A} \boldsymbol{S} \sim \text{N}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{A}^\text{T})$ . Formal prueba de este resultado puede llevarse a cabo con bastante facilidad utilizando funciones características.

Answer 2

Para visualizarlo un poco, considere que la distribución gaussiana se escala por r^2, por lo que múltiples ejes independientes forman una relación pitagórica cuando se escalan por sus desviaciones estándar, de lo que se deduce que la bola de pelusa de la distribución re-escalada se convierte en esférica (en n dimensiones) y se puede girar alrededor de su centro a su conveniencia.

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