Número de rectángulos con área impar.

Question

Tenemos un $10\times 10$ cuadrado.
¿Cuántos rectángulos con área impar hay en la imagen?

Yo digo que primero elijamos un vértice, hay $11\cdot11=121$ posibilidades.
Ahora, elige la anchura y el lado de impar (izquierda o derecha) y la longitud y el lado de impar (arriba o abajo). Hay $5$ posibilidades a cada uno, por lo que en total tenemos $\dfrac{121\cdot 25}{4}$ rectángulos. Dividimos por $4$ porque cada rectángulo se cuenta $4$ veces, una vez por cada vértice del rectángulo. Pero, el resultado no es un número entero. ¿En qué me equivoco? Gracias.

Answer 1

La anchura debe ser impar y la altura debe ser impar. Hay $10$ opciones de un par de $x$ -coordenadas para tener la anchura $1$ , $8$ opciones de anchura $3$ , $6$ opciones para con $5$ etc. Así que tenemos $10+8+6+4+2=30$ formas de elegir los dos $x$ coordenadas e igualmente $30$ formas de elegir $y$ -coordenadas. Esto nos da un total de $30\cdot 30=900$ Rectángulos de área impar.

Lo que has hecho es elegir un vértice y luego suponer que cada posible anchura y altura de impar se puede realizar con este vértice.

Answer 2

El razonamiento está bien, excepto por esto:

Hay 5 posibilidades para cada uno

Lamentablemente, no. Si el vértice elegido está en $(1,1)$ (rejilla a partir de $(0,0)$ ) tienes 6 posibilidades para cada dirección.

En general, tienes 6 posibilidades si la coordenada es impar, 5 si es par.

---

Arreglar: Porque hay $36$ todos los vértices de coordenadas pares, $25$ todo-impar, y $121-36-25=60$ vértices mixtos, el recuento correcto es

$$36 \times 5^2+ 25 \times 6^2 + 60 \times5 \times 6=3600$$

Dividiendo por $4$ se obtiene el $900$ rectángulos.

Answer 3

Supongo que buscas rectángulos con lados paralelos a los del cuadrado y vértices que sean puntos de la red. Un rectángulo con lados enteros tiene área impar si los lados son ambos Impares. Para cada par de enteros Impares $x, y$ con $1 \le x,y \le 9$ Hay $(11-x)(11-y)$ posiciones posibles para un rectángulo de tamaño $x \times y$ . Por lo tanto, el número de rectángulos es $$\sum_{x \in \{1,3,5,7,9\}} \sum_{y \in \{1,3,5,7,9\}} (11-x)(11-y) = 900$$