Usa una ecuación cuadrática para encontrar dos enteros pares consecutivos si su producto es $168$

Question

Todo lo que tengo hasta ahora es $xy=168$ y sé que necesito una segunda ecuación para hacer una fórmula cuadrática. Entonces, ¿cómo se escribe " $2$ ¿"Números enteros pares consecutivos" como fórmula?

Respuesta: 12 y 14

Answer 1

Llama al entero impar entre los dos enteros pares $n$ . Los enteros pares son entonces $n-1$ y $n+1$ para que $$168=(n-1)(n+1)=n^2-1$$ para que $n^2=169$ etc.

Answer 2

Intuitivamente, si $x$ y $y$ están próximos entre sí, su producto debe ser cercano al cuadrado de su media. Si se distorsiona un cuadrado acortando un lado y ampliando el otro, el área no cambiaría mucho:

$x$ y $y$ son enteros pares consecutivos por lo que su media es el número impar intermedio.

$\sqrt{168} \approx 12.961$

Que está cerca de $13$ un número impar. Ahora todo lo que tienes que hacer es comprobar si $12 * 14$ es la solución.

Answer 3

Un número entero par $x$ es de la forma $2n$ , $n \in \mathbb{Z}$ y el siguiente entero par es 2 más, por lo que $y = 2n+2$ .

Así que $2n(2n+2) = 168$ o $4n^2 + 4n - 168 = 0$ etc. Teniendo $n$ encontramos $x$ y $y$ .

Answer 4

Sean los enteros pares consecutivos $2x$ y $2x+2$ , $x \in \mathbb Z$

Así que, según la pregunta,

$$\begin{align}2x (2x+2)&=168 \\ \implies 4x^2+4x &=168\\ \implies x^2+x-42 &=0\end{align}$$

Resuelve esta ecuación cuadrática y obtén su respuesta.

Answer 5

$$x = y + 2$$ Enchufa eso en $xy= 168$

Compruebe el resultado para asegurarse de que el $x$ y $y$ que consigues son parejos. Si no son pares, entonces el problema no tiene solución.