¿Por qué es tan importante la noción de función analítica?

Question

Creo que entiendo algo de lo que es una función analítica: es una función que puede aproximarse mediante una serie de potencias de Taylor. Pero, ¿por qué es tan importante la noción de "función analítica"?

Supongo que el hecho de ser analítico implica algún conocimiento más interesante que el hecho de que se pueda aproximar mediante series de potencia de Taylor, ¿no?

¿O tal vez no entiendo (subestimo) la importancia de una serie de potencias de Taylor? ¿Es algo más que un medio de aproximación?

Answer 1

Las funciones analíticas tienen varias propiedades agradables, entre ellas:

1. Son $C^\infty$ funciones.
2. Si, cerca de $x_0$ tenemos $$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots,$$ entonces $$f'(x)=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+4a_4(x-x_0)^3+\cdots$$ y puedes empezar de nuevo. Es decir, puedes diferenciarlos como si fueran polinomios.
3. El hecho de poder expresarlas localmente como sumas de series de potencias permite calcular rápidamente valores aproximados de la función.
4. Cuando el dominio está conectado, toda la función $f$ viene determinado por su comportamiento en una región muy pequeña. Por ejemplo, si $f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb R$ es analítica y se conoce la secuencia $\left(f\left(\frac1n\right)\right)_{n\in\mathbb N}$ , entonces este conocimiento determina completamente la función completa (el teorema de la identidad).

Answer 2

Un problema grave cuando se trata de funciones es la capacidad de evaluarlas. Las herramientas básicas de que disponemos para la evaluación de funciones son las cuatro operaciones aritméticas.

De ahí que los polinomios (y en menor medida las fracciones racionales) sean de suma importancia. El desarrollo de Taylor sirve de puente entre las funciones y los polinomios y su generalización, las series enteras. Además, gozan de numerosas propiedades importantes, como la continuidad, la diferenciabilidad, la suavidad... y son susceptibles de tratamiento analítico.

Answer 3

¡Excelente pregunta! Me alegro de que lo hayas preguntado.

Hay lotes de razones, pero yo diría que las más fundamentales son las siguientes:

1. Porque las series de Taylor se aproximan utilizando SÓLO la aritmética básica

Ojalá alguien me hubiera dicho esto en la escuela. Es por lo que estudiamos los polinomios y las series de Taylor.

El fundamental funciones matemáticas que realmente comprender profundamente son $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ ... para mí, es justo decir que el estudio de los polinomios es realmente el estudio de "¿Qué podemos hacer con la aritmética básica?"

Así que cuando se demuestra que una función puede ser aproximada por una serie de Taylor, lo que se hace es realmente es que se puede evaluar esa función con la precisión deseada a través de la aritmética básica .

Si esto no te parece impresionante, probablemente sea porque alguien ya ha hecho el trabajo por ti para que tú no tengas que hacerlo. ;) Para explicarlo mejor:

Probablemente escriba sin(sqrt(2)) en una calculadora y dar por hecho que te devuelve una respuesta (y fíjate que es una aproximado uno!) sin saber nunca cómo lo hace realmente. Bueno, no hay una magia sin y sqrt circuito en su calculadora. Todo se realiza mediante una secuencia de $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ operaciones, porque esas son las únicas cosas que sabe hacer .

Entonces, ¿cómo sabe que ¿Secuencia exacta de operaciones aritméticas básicas a utilizar? Bueno, con frecuencia, alguien ha utilizado las series de Taylor para derivar los pasos necesarios para aproximar la función que se desea (véase, por ejemplo, el método de Newton). Usted puede que no tengas que hacerlo si todo lo que haces es meter cosas en una calculadora, porque alguien ya lo ha hecho por ti.

En otras palabras: Las series de Taylor son la base bloques de construcción de las funciones fundamentales .

Pero eso no es todo. También hay otro aspecto importante:

2. Las series de Taylor permiten composición de la función utilizando SOLO aritmética básica

Para entender esta parte, considere que la serie de Taylor para $f(x) = g(h(x))$ es bastante fácil de evaluar: basta con diferenciar mediante la regla de la cadena ( $f'(x) = g'(h(x)) h'(x)$ etc.) y ahora se ha obtenido la serie de Taylor para $f$ a partir de las derivadas de $g$ y $h$ utilizando SÓLO la aritmética básica .

En otras palabras, cuando $f$ es analítica y ha "resuelto" su problema para $g$ y $h$ , lo has "resuelto" para $f$ ¡también! (Se puede pensar que "resolver" aquí significa que podemos evaluar algo en términos de sus componentes individuales que ya sabemos cómo evaluar).

Si la componibilidad parece una cosa trivial, pues definitivamente lo es no ¡¡!! ¡Hay muchas otras aproximaciones para las que la composición sólo te complica la vida! Las series de Fourier son un ejemplo. Si tratas de componerlas arbitrariamente (digamos, $\sin e^x$ ) se topará rápidamente con una pared de ladrillos.

Así que, en otras palabras, Las series Taylor también proporcionan un "pegamento" para estos bloques de construcción .

¡¡Es un buen trato!!

Answer 4

Ser analítico, y especialmente ser analítico-complejo, es una propiedad realmente útil, porque

1. Es muy restrictivo. Funciones analíticas complejas integrar a cero alrededor de los contornos cerrados son constante si está acotada y es analítica en todo su recorrido $\mathbb{C}$ (o si su valor absoluto tiene un máximo local dentro de un dominio ), preservan los ángulos localmente (son conformal ), y tienen ceros aislados . La analiticidad también es conservado en límites uniformes .
2. La mayoría de las funciones que obtenemos a partir de las operaciones algebraicas básicas, así como las funciones trascendentales elementales, (y, de hecho, las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales), son analíticas en casi todos los puntos de su dominio, por lo que la sorprendente restricción de ser una función analítica no impide que la clase de funciones que son analíticas contenga muchos ejemplos interesantes y útiles. Probar algo sobre las funciones analíticas nos dice algo sobre todas estas funciones.

Ser real-analítico es bastante menos emocionante (en particular, no existe la noción de conformidad y sus fenómenos relacionados). De todos modos, la mayoría de las propiedades de las funciones analíticas reales pueden deducirse a partir de la restricción de las propiedades locales de las analíticas complejas, debido a esta caracterización . Así que todavía tenemos aislamiento de ceros, y otras propiedades pero ni de lejos (y los límites uniformes ya no son analíticos ).

Answer 5

Nos gustan las funciones que se pueden expresar mediante series de Taylor, porque son realmente bien portado. Hacer un análisis con funciones analíticas es simplemente más fácil que con funciones más generales.

Puede ser interesante considerar la situación de hace dos siglos: la siguiente cita de Niels Henrik Abel es una de mis favoritas

... Hay muy pocos teoremas en el análisis avanzado que hayan sido demostrados de manera lógicamente sostenible. Todo el mundo encuentra esta miserable manera de concluir de lo especial a lo general, y es extremadamente peculiar que tal procedimiento haya conducido a tan pocas de las llamadas paradojas. Es realmente interesante buscar la causa.

En mi opinión, radica en el hecho de que en el análisis, uno se ocupa en gran medida de las funciones que pueden expresarse mediante potencias. En cuanto entran otras funciones -lo cual, sin embargo, no es frecuente-, entonces ya no funciona y de las falsas conclusiones surgen una serie de teoremas conectados e incorrectos. ...

_{(citado por <em>Niels Henrik Abel: un matemático extraordinario </em>)}

En resumen, los matemáticos del siglo XVIII y principios del XIX demostraron cosas sobre las funciones analíticas porque:

• esas son las funciones que surgen al hacer el análisis
• esas son las funciones sobre las que sabían demostrar cosas

Y, de hecho, ni siquiera se reconocía que las funciones analíticas fueran especiales.