Mostrar que el primer tiempo de golpe de un conjunto cerrado es un tiempo de parada.

Question

He encontrado este ejercicio en línea:

Estoy stuggling con la última parte del segundo ejercicio, que es que no soy capaz de demostrar que $\tau = \sup_i \tau_i$. Obviamente tenemos que $\tau \ge \sup_i \tau_i$, pero yo lucho para mostrar a los otros la desigualdad. Algún consejo?

También, he oído que el segundo caso también tiene bajo la restricción en el primer caso, que está a la derecha de la continuidad, o tal vez tenemos que asumir cadlag-trayectorias. ¿Ves cómo podemos mostrar el segundo caso, suponiendo esto?

Mi idea para probar esto fue esto: yo era capaz de mostrar fácilmente si $\tau=0,\infty$. Así que puede excluir de los casos, y buscar en cualquier $\epsilon>0$. Entonces debo tener y que en el intervalo de $[0,\tau-\epsilon]$ al menos un $G_i$ no se alcanza.

Puede usted ayudarme por favor?

Answer 1

Desde $G_i \supseteq B$, $\tau_i \leq t$ y por lo tanto, como ya se ha señalado,

$$\sup_{i \in \mathbb{N}} \tau_i \leq \tau.$$

Queda por demostrar que

$$\tau \leq \sup_{i \in \mathbb{N}} \tau_i.$$

Fix $\omega \in \Omega$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el lado derecho es finito (de lo contrario no hay nada que probar), es decir,

$$T(\omega):= \sup_{i \in \mathbb{N}} \tau_i(\omega) <\infty.$$

Desde $\tau_1 \leq \tau_2 \leq \ldots$, se deduce de la propia definición de "sup" que $\lim_{i \to \infty} \tau_i(\omega) = T(\omega)$. Por lo tanto, como $(X_t)_{t \geq 0}$ tiene la muestra continua de caminos,

$$X_{T(\omega)}(\omega) = \lim_{i \to \infty} X_{\tau_i(\omega)}(\omega).$$

Desde

$$|X_{T(\omega)}-b| \leq |X_{T(\omega)}-X_{\tau_i(\omega)}(\omega)| + |X_{\tau_i(\omega)}(\omega)-b|$$

para cualquier $b \in B$, nos encontramos con

$$d(X_{\tau(\omega)}(\omega),B) \leq |X_{T(\omega)}-X_{\tau_i(\omega)}(\omega)| + \underbrace{d(X_{\tau_i(\omega)}(\omega),B)}_{\leq i^{-1}} \xrightarrow[]{i \to \infty} 0,$$

es decir,

$$d(X_{\tau(\omega)}(\omega),B)=0.$$

Como $B$ es cerrado, esto conlleva $X_{T(\omega)}(\omega) \in B$. Por la definición misma de $\tau$, esto significa que $\tau(\omega) \leq T(\omega)$.

Como la prueba muestra sólo tenemos a la izquierda-la continuidad de la muestra los caminos y no necesariamente la continuidad.

Answer 2

Piensa dónde debe estar$\lim_i X_{\tau_i}$; comience por observar que$X_{\tau_i}\in\overline G_i$ en$\{\tau_i<\infty\}$.