Unidades en un dominio euclidiano

Question

<blockquote> <p>Quiero probar eso si $R$ es un dominio euclidiano, con función euclidiana $d$, entonces si $a,b\in R\setminus\{0\}$ y $b$ no son una unidad $d(a)<d(ab)$.</p> </blockquote> <p>Ya probé que $b$ no es una unidad si y sólo si $d(b)>d(1)$. Más probable es que necesito para usar esto, pero no veo cómo.</p> <p>¿Me puede dar una pista?</p> <p>Gracias.</p>

Answer 1

Nuestro objetivo es mostrar que $d(a) = d(ab) \implies$ b es una unidad. Considerar $(a)$ y $(ab)$. Si $(a) = (ab)$ hemos terminado. Ahora considerar $(ab) \subset (a)$ $\exists c \in (a)$ st $c \not\in (ab)$será ahora aplicable División con resto propiedad $c =(ab)q+r$ pero ahora $d(r)