Solución analítica de la integral $x^{1+n}\exp(-x) \sin(x)$

Question

$$\int\limits_0^\infty x^{1+n} \exp(-x) \sin(xy) \mathrm{d}x $$

de verdad $n, x, y$ y $n\ge-3$ tiene la siguiente solución analítica según la matemática:

$$(1 + y^2)^{\left(-1 - \frac{n}{2}\right)} \Gamma(2 + n) \sin((2 + n) \arctan(y))$$

He intentado hacer la integración a mano, pero no sé cómo hacerlo cuando $1+n$ no es un entero positivo (si lo es se puede hacer una integración parcial y se obtiene un factorial en lugar de la función gamma).

¿Hay alguna forma de hacerlo?

¿O hay que resolver para los enteros $n$ y luego se puede generalizar a los no enteros $n$ insertando la función gamma para los factoriales?

Pensé en hacer esto en el plano complejo usando el teorema del residuo, pero no hay polos, así que esto no parece funcionar.

Answer 1

La integral es la parte imaginaria de

$\displaystyle \int\limits_0^\infty x^{1+n} \exp(-(1-i y)x)\mathrm{d}x$ ,

que sugiere el cambio de variables $z=(1-i y)x$ . Se puede comprobar que el cambio en el contorno no importa, y se termina con

$\displaystyle\frac{\Gamma(2+n)}{(1-iy)^{2+n}}$ ,

cuya parte imaginaria es su respuesta.