Cómo evaluar estas integrales:$$\int_{-1}^{1}(x^{5}-x^{3}-x)(1+x^{2})^{\frac{1}{4}}\sin5xdx$ $$$\int_{-1}^{1}\frac{(x^{5}-x^{3}-x)(1+x^{2})^{\frac{1}{4}}\sin5x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$ $ ¿Alguien puede ayudarme? ¡Gracias!
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¿Demasiados anuncios?
Jon Smock
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Para actualizar la definición de aquí a $f(x)$ es una función impar si $f(-x) = -f(x)$, e incluso si $f(-x)=f(x)$
En primer lugar, $$\int_{-1}^1 f(x) \hspace{4pt} dx = 0$$ if $f(x)$ is odd function, and if $f(x)$ es una función par, entonces
$$\int_{-1}^1 f(x) dx = 2 \int_0^1 f(x) dx $$
Para el primer problema:
$$f(x) = (x^{5}-x^{3}-x)(1+x^{2})^{\frac{1}{4}}\sin5x$$
$$ \begin{align*} f(-x) &= (-x^{5} + x^{3} +x)(1+x^{2})^{\frac{1}{4}} \sin5(-x) \\ &= (-x^{5} + x^{3} +x)(1+x^{2})^{\frac{1}{4}} (-\sin 5x)\\ &= (x^{5}-x^{3}-x)(1+x^{2})^{\frac{1}{4}}\sin 5x = f(x)\\ \end{align*} $$
Para la primera función de si el uso de la aproximación (el uso de alta los términos de orden si quieres ) $(1+x^2)^{\frac{1}{4}} \approx 1+\frac{1}{4}x^{2}$
La integral es
$$ 2 \int_0^1 (x^{5}-x^{3}-x)(1+x^{2})^{\frac{1}{4}}\sin5x dx \approx 2 \int_0^1 (x^{5}-x^{3}-x)(1+\frac{x^2}{4})\sin5x dx$$
que es
$$ 2 \int_0^1 \left( \frac{3}{4} x^5 \sin(5x) -x \sin(5x) - \frac{5x^3}{4} \sin(5x) + \frac{x^7}{4} \sin(5x) \right) dx $$
$$ \approx 2 \left( \frac{98165 \cos(5) -22233 \sin(5)}{312500} \right) = 0.314658 $$
Esto puede ser verificado en Wolfram Alpha
De igual manera para la segunda integral
$$ \int_{-1}^1 \frac {x^{5} x^{3}-x)(1+x^{2})^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{1-x^2}}\sin5x dx = 2 \int_0^1 \frac {x^{5} x^{3}-x)(1+x^{2})^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{1-x^2}}\sin5x dx$$
Usando otra aproximación
$$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{\frac{-1}{2}} \approx (1+\frac{x^2}{2}) $$
Por lo tanto
$$ \int_{-1}^1 \frac {x^{5} x^{3}-x)(1+x^{2})^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{1-x^2}}\hspace{4pt}sin5x \hspace{4pt} dx = 2 \int_0^1 (x^{5} x^{3}-x)(1+\frac{1}{4}x^{2})(1+\frac{1}{2}x^2)\sin5x dx$$
$$ = 2 \int_0^1 \left(\frac{x^9}{8} + \frac{x^7}{4} - \frac{x^5}{8} - \frac{7x^3}{8} -x \right)\sin5x dx $$
$$ = \frac{2}{15625000} \left( (703125x^8 - 481250 x^6 + 186875 x^4 -1730325 x^2 - 486574)\sin5x - 5x(78125 x^8 - 68750x^6 + 37375 x^4-576775x^2 -486574)\cos5x \right) $$
con los límites de $0$ $1$
El valor de la segunda integral es, por tanto, $0.406494$
(Tenga en cuenta que la versión simplificada de la función en la segunda integral es también una función par, y por lo tanto la integral de los límites de$0$$1$)
