❑ Un mínimo de:

Question

Cómo uno sistemáticamente encontrar el mínimo de

$$f(x)= \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} |x+i|$$

¿donde $x \in \mathbf{R}$? Experimentación en Wolfram Alpha muestra un patrón específico, pero estoy pensando en usar argumentos delimitadores. Si $f(x)= \sum{i=0}^{n} |x+i|$, repetidas los usos de las obras de la desigualdad del triángulo, pero parece que no puedo utilizar la desigualdad de triángulo atado$\sum{i=0}^{n}(-1)^{i} |x+i|$.

Answer 1

Podemos considerar la derivada de $f$ $\mathbb R\setminus\{-n,-n+1,\ldots,0\}$ y el uso que $f$ es continua.

En primer lugar, considerar que el $n$ es impar.

En ese caso tenemos $$f'(x)=\begin{cases} 0 & x<-n\\ -2 & x\in(-n,-n+1)\\ 0 & x\in(-n+1,-n+2)\\ -2 & x\in(-n+2,-n+3)\\ \vdots\\ 0 & x>0 \end{casos}$$ Por lo tanto, $f$ es seccionalmente constante o decreciente. Por lo tanto $f$ es mínimo para $x\geq 0$ con el valor mínimo $$f(0)=\sum_{i=0}^n(-1)^ii=-\frac{n+1}2.$$ A continuación, considere que $n$ es incluso.

En ese caso tenemos $$f'(x)=\begin{cases} -1 & x<-n\\ 1 & x\in(-n,-n+1)\\ -1 & x\in(-n+1,-n+2)\\ 1 & x\in(-n+2,-n+3)\\ \vdots\\ 1 & x>0 \end{casos}$$ Desde $f$ aumenta con la misma velocidad de la forma $-n$ $-n+1$ya que disminuye de forma $-n+1$ $-n+2$usted ver que $f(-n)=f(-n+2)$ mientras $f(x)>f(-n)$$x\in(-n,-n+1)$. Por lo tanto, se puede concluir $$f(-n)=f(-n+2)=f(-n+4)=\ldots=f(0)$$ mientras que$f(x)\geq f(-n)$$[-n,0]$. Desde $f$ es el aumento de $x>0$ se puede conseguir que la $f$ es mínima en $\{-n,-n+2,-n+4,\ldots,0\}$ con el valor mínimo $$f(-n)=\sum_{i=0}^n(-1)^i(n-i)=\frac{n}2.$$

Answer 2

Deje $n=2m-1$ ser impar. De la simple función $$\phi(x):=|x|-|x+1|=\left\{\eqalign{&\ \quad1\qquad\quad(x\leq-1) \cr &-2x-1\quad(-1\leq x\leq0)\cr&\quad-1\qquad\ \ (x\geq0)\cr}\right.$$ es$\equiv1$$x\leq-1$, entonces tiene una rampa de pendiente $-2$ en el intervalo de $[{-1},0]$, y es $\equiv-1$ todos los $x\geq0$.

Desde $$f_{2m-1}(x)=\sum_{j=0}^{m-1} \phi(x+2j)$$ la función de $f_{2m-1}$ es una suma de $m$ copias de $\phi$ traducido a la izquierda por cantidades $2j\geq0$ $(0\leq j\leq m-1)$. Por lo tanto, ha $m$ tal descendente rampas, a la izquierda, comenzando a $-1-2(m-1)=-(2m-1)$. De ello se desprende que $f_{2m-1}$ es monótonamente decreciente y toma su mínimo $-m$ en todos los puntos de $x\geq0$.

Ahora $$f_{2m}(x)=f_{2m-1}(x)+|x+2m|\ .$$ Aquí el término " $|x+2m|$ está disminuyendo con pendiente $-1$ $x\leq-2m$ y aumenta con la pendiente $1$$x\geq2m$. En el intervalo de $[{-2m},0]$ este aumento constante de $x\mapsto |x+2m|$ interfiere con la cascada de las rampas de $f_{2m-1}$, lo que resulta en un zigzag horizontal del período $2$ y la amplitud de la $1$. En $x=0$ estamos en el extremo inferior de la última rampa, y a partir de entonces $f_{2m}$ aumentará definitivamente con pendiente $1$. El mínimo de $f_{2m}$ por lo tanto puede ser encontrado mediante el cálculo de $f_{2m}(0)$, y se encuentra a $$f_{2m}(0)=f_{2m-1}(0)+|0+2m|=-m+2m=m\ .$$