Cómo mostrar$\sqrt{f(x)} \geq \sqrt{f(1)} +\frac{1}{2}(x-1)$?

Question

<blockquote> <p>Supongo que $f$ es una función tal que $f(x) > 0$ y $f'(x)$ son continua en cada número real $x$. Si $f'(t) \geq \sqrt{f(t)}$ % todo $t$, entonces mostrar que $$\sqrt{f(x)} \geq \sqrt{f(1)} +\frac{1}{2}(x-1)$ $ % los $x \geq 1$.</p> </blockquote> <p>Juicio: Aquí $f'(t) \geq \sqrt{f(t)} \implies f(t) \geq \int \sqrt{f(t)}~ dt$ y luego soy incapaz de resolver</p>

Answer 1

Sugerencia: Que $g=2\sqrt{f}$. Entonces $g$ está bien definida ya que $f\gt0$ en todas partes y $g'\geqslant1$. Por lo tanto, $g(x)\geqslant g(1)+x-1$ cada $x\geqslant1$.

Answer 2

Usando su primera desigualdad $$f'(t) \geq \sqrt{f(t)}$ $ divida ambos lados por el $\sqrt{f(t)}$ $$f'(t)\frac{1}{\sqrt{f(t)}}\geq 1$ $Divide ambos lados por 2, $$f'(t)\frac{1}{2\sqrt{f(t)}}\geq \frac{1}{2}$$Note $\frac{d}{dt} \sqrt{f(t)}=f'(t)\frac{1}{2\sqrt{f(t)}}$, así que integrar ambos lados da... %#% $ #% Que equivale a $ #% de %#% y $$\int{1}^xf'(t)\frac{1}{2\sqrt{f(t)}} \ dt \geq \int{1}^x \frac{1}{2} \ dt $ $

Answer 3

Que $h(x)=\sqrt{f(x)}- \sqrt{f(1)} -\frac{1}{2}(x-1)$ y $$h'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} -\frac{1}{2}\ge0$ $ porque $f'(x) \geq \sqrt{f(x)}$. Desde $h(1)=0$, hemos terminado.