Cómo hacer esta integral

Question

Demostrar que %#% $ #%

La parte angular es fácil de hacer como el integrando es esférico simétrico por lo que el resultado es $$\int \frac{d^{n}q}{(2\pi)^{n} }\frac{q^{2a}}{(q^{2}+D)^{b}}=D^{-(b-a-n/2)}\frac{\Gamma (b-a-n/2)\Gamma (a+n/2)}{(4\pi )^{n/2}\Gamma (n)\Gamma (n/2)}$ $V_{d-1}\times A$ Dónde está el volumen de la bola n euclidiana de radio unidad. Queda por calcular la parte radial pero no sé cómo se hace. Esta integral se presenta en el cálculo de las correcciones de lazo en los propagadores de campos escalares

Answer 1

Con el esférico coordinar cambio seguido por la sustitución $r = \sqrt{D}\tan\theta$,\begin{align} &\frac{1}{(2\pi)^{n}} \int{\Bbb{R}^{n}} \frac{r^{2a}}{(r^2 + D)^{b}} \, dx \ &=\frac{|S^{n-1}|}{(2\pi)^{n}} \int{0}^{\infty} \frac{r^{2a}}{(r^2 + D)^{b}} \, r^{n-1}dr \ &=\frac{2\pi^{n/2}}{(2\pi)^{n}\Gamma(n/2)} D^{a-b+n/2} \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan^{2a+n-1}\theta}{\sec^{2b}\theta} \sec^{2}\theta \, d\theta \ &=\frac{1}{(4\pi)^{n/2}\Gamma(n/2)} D^{a-b+n/2} \cdot 2 \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2a+n-1}\theta \cos^{2b-2a-n-1}\theta \, d\theta \ &=\frac{1}{(4\pi)^{n/2}\Gamma(n/2)} D^{a-b+n/2} \beta\left(a+\frac{n}{2},b-a-\frac{n}{2}\right) \ &=\frac{1}{(4\pi)^{n/2}\Gamma(n/2)} D^{a-b+n/2} \cdot \frac{\Gamma\left(a+\frac{n}{2}\right)\Gamma\left(b-a-\frac{n}{2}\right)}{\Gamma(b)}. \end{align} aquí usamos la beta función identidad $$ 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2z-1}\theta \cos^{2w-1}\theta \, d\theta = \beta(z, w) = \frac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)}. $ $