Tengo que encontrar soluciones generales para el $$\cos(x) + \cos(2x) = 0.$$ From sum-to-product formula I got $$\cos(3x/2) \cos(x/2) = 0,$$ giving me $$x = \pi/3$$ and $$x = \pi.$$ According to my text book, the answer should be in the form $$2n\pi \pm \alpha.$$ So I gave the answer $$2n\pi \pm \frac\pi3.$$ But the answer in the back of the book has left the $$\pm$$ sign and it says $$(2n + 1)\frac\pi3.$$ I need to know if $$\pm$ signo de $ en mi respuesta no es necesario o no.
Respuestas
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El $\pm$ firme en su respuesta no es necesaria. Pensar acerca de las soluciones que usted está buscando como un conjunto. Usted está reclamando que el conjunto de todas las soluciones es el conjunto $$ \bigl\{(2n-1)\tfrac{\pi}{3}, (2n+1)\tfrac{\pi}{3} \ | \ n \in \mathbb Z \bigr\}. $$ Aquí $\mathbb Z$ denota el conjunto de todos los números enteros. El último conjunto es la unión de los dos siguientes conjuntos de $$ \bigl\{(2n-1)\tfrac{\pi}{3}\ | \ n \in \mathbb Z \bigr\} \quad \text{y} \quad \bigl\{(2n+1)\tfrac{\pi}{3} \ | \ n \in \mathbb Z \bigr\}. $$ Sin embargo, no es difícil mostrar que $$ \bigl\{(2n-1)\tfrac{\pi}{3}\ | \ n \in \mathbb Z \bigr\} = \bigl\{(2n+1)\tfrac{\pi}{3} \ | \ n \in \mathbb Z \bigr\}. $$ Por ejemplo, $-\pi$ pertenece al conjunto en el lado izquierdo desde $-\pi = (2(-1)-1)\tfrac{\pi}{3}$ $-\pi$ pertenece al conjunto en el lado derecho desde $-\pi = (2(-2)+1)\tfrac{\pi}{3}$. En general, $(2n-1)\tfrac{\pi}{3} = (2(n-1)+1)\tfrac{\pi}{3}$; por lo que cada elemento en el conjunto de la mano izquierda está en el conjunto en el lado derecho. Del mismo modo, $(2n+1)\tfrac{\pi}{3} = (2(n+1)-1)\tfrac{\pi}{3}$; por lo que cada elemento en el conjunto de la derecha es en el conjunto de la mano izquierda.
Así, la respuesta correcta es también $$ (2n-1)\tfrac{\pi}{3}, \quad n \in \mathbb Z. $$
fp.monkey
Puntos
76
La idea aquí es que quieres ver si el rango de $(2n+1)$ si es diferente de la de $(2n\pm1)$.
$y = cos(x) + cos(2x)$ Tiene periodicidad constante, puede asumir $n \in \mathbb{Z}$.
El rango de $(2n + 1)$ será $\mathbb{Z}$.
El rango de $(2n \pm 1)$ también será $\mathbb{Z}$.
Por lo tanto, la respuesta produce el mismo resultado que el de tu libro de texto.
