Validez del enunciado condicional cuando la premisa es falsa.

Question

¿Es sólo por comodidad que los matemáticos definen que los enunciados falsos implican cualquier cosa?

Si es así, ¿por qué se define así?

Answer 1

Bueno, una de las principales razones por las que elegimos esta convención es que estamos algo escasos de opciones:

• Podríamos decir que una premisa falsa implica que la implicación es verdadera exactamente cuando la conclusión es verdadera, pero eso sería impar porque entonces la premisa no hace nada.
• Podríamos decir que una premisa falsa implica que la implicación es verdadera exactamente cuando la conclusión es falsa, pero eww.
• Podríamos decir que una premisa falsa implica que la implicación es siempre verdadera, que es lo que hace la mayoría de la gente que piensa en las alternativas.
• Podríamos decir que una premisa falsa implica que la implicación es siempre falsa, pero si hacemos esto entonces $p\to q$ tiene la misma tabla de verdad que $p\wedge q$ que no es mala pero parece que hay algo más que queremos de una implicación que un simple enunciado "y".
• Podríamos rechazar el ley del medio excluido para que la implicación no sea ni verdadera ni falsa. Esto resulta ser una opción válida pero también eww. Más razones prácticas para no gustar de esto es que destruye la doble negación $ (\sim\sim\! p$ es $p)$ y, por tanto, las pruebas contrapositivas y de contradicción.

Así que tienes que elegir uno. Son un grupo lamentable, lo admito, pero estamos atrapados con ellos, y uno ha demostrado ser más realista y pragmático que los otros.

Answer 2

No está del todo claro en tu pregunta a qué te refieres, así que añado también esta respuesta, sólo para completarla. Creo que te refieres al hecho de que en la lógica clásica una contradicción implica cualquier frase. Esto no es lo mismo que decir que un enunciado falso implica cualquier cosa. En realidad, eso no es cierto. Si $P$ es falso, entonces $P\implies Q$ es una afirmación verdadera pero no se puede concluir que $Q$ es cierto.

Sin embargo, si, $P$ es tanto verdadera como falsa (es decir, es una contradicción) entonces como $P\implies Q$ es cierto se puede concluir ahora por Modes Ponens que $Q$ es verdadera, y por lo tanto una contradicción prueba cualquier declaración. Esto se llama el principio de explosión.

Hay varias razones para no sentirse a gusto con este principio y hay formas de excluirlo y conservar un sistema lógico muy útil que sea tolerante con las contradicciones, sin que todo el sistema resulte inútil. Tales lógicas se llaman paraconsistentes. Se puede encontrar un buen artículo expositivo sobre la paraconsistencia aquí: http://plus.maths.org/content/not-carrot

Answer 3

Quine afirma una idea similar en sus "Métodos de Lógica":

"Un esquema incoherente implica a todos los esquemas y sólo es implicado por los incoherentes".

Esto se deduce naturalmente de la forma en que define la implicación. En concreto, dice que "la implicación es la validez del condicional", cuando la validez se definía anteriormente como verdadera bajo todas las interpetaciones.

Con esta definición de implicación, un esquema de la forma ' ${\bot} \to p$ es válido porque es verdadero si $p$ se interpreta como verdadero o falso, por lo que ' $\bot$ ' implica ' $p$ '.

Answer 4

Lo has entendido al revés: una proposición no implica todo porque es falsa, sino que una proposición es falsa porque implica todo. Queremos que un sistema formal distinga un subconjunto estricto de válido propuestas. Una proposición que implique a todas las demás no puede estar en este subconjunto, ya que haría que todas las demás fórmulas fueran también válidas. Por lo tanto, aquellas proposiciones que lo implican todo, son falsas.

Answer 5

Me ha resultado útil esta explicación concisa, desde :

Por favor, no confunda lo terso con lo simple.
Que una premisa falsa implique cualquier conclusión no es una "sugerencia"[.]
[Es una ley fundamental de la lógica formal que, lamentablemente, la mayoría de la gente no conoce. Se produce porque la validez de la implicación se basa en la seguridad de que
$\color{red} { \text {the case of a given premise being true and the implied conclusion simultaneously being false } }$ no sucederá.
Si la premisa es siempre falsa, esto [el caso anterior en rojo] no puede ocurrir nunca[.] [S]o importa la conclusión (verdadera o falsa). Así, una premisa falsa implica cualquier conclusión.