que $f$ ser una función diferenciable. Calcular $\frac{d}{dx}g(2)$, donde $g(x) = \frac{f(2x)}{x}$.

Question

que $f$ ser un diferenciable función y $$\lim_{x\to 4}\dfrac{f(x)+7}{x-4}=\dfrac{-3}{2}.$ $

Definir $g(x)=\dfrac{f(2x)}{x}$. Quiero saber el % de derivados $$\dfrac{d}{dx}g(2)=?$$

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Lo sé:

$$\dfrac{d}{dx}g(2)=\dfrac{4(\dfrac{d}{dx}f(4))-4f(4)}{4}$$

y:

$$\lim_{x\to 4}\dfrac{f(x)-f(4)}{x-4}=a\in\mathbb{R}$$

así que:

$$\lim_{x\to 4}\dfrac{f(x)-f(4)+7+f(4)}{x-4}=\dfrac{-3}{2}$$

$$\lim_{x\to 4}\dfrac{f(x)-f(4)}{x-4}+\dfrac{f(4)+7}{x-4}=\dfrac{-3}{2}$$

¿Y ahora qué?

Answer 1

Usted tiene un extra de $4$ en el numerador aquí:

yo sé que :

$$\dfrac{d}{dx}g(2)=\dfrac{4(\dfrac{d}{dx}f(4))-4f(4)}{4}$$

Si $g(x) = \dfrac{f(2x)}x$, luego

\begin{align*} \frac d{dx} g(x) &= \frac d{dx} \left(\frac{f(2x)}x\right)\\[0.3cm] &= \frac{x \frac d{dx} f(2x) - f(2x) \frac d{dx}x}{x^2}\\[0.3cm] &= \frac{2x f'(2x) - f(2x)}{x^2}\\[0.3cm] \end{align*}

Por $\dfrac d{dx} g(2)$ creo que te refieres $\dfrac d{dx} g(x)\bigg|_{x=2}$. O, de manera más compacta, $g'(2)$.

Por lo $g'(2) = \dfrac{4f'(4) - f(4)}4$.

Se nos ha dado $\displaystyle \lim_{x\to 4} \frac{f(x) + 7}{x-4} = -\frac32$. Desde $\lim_{x\to4} (x-4) = 4-4 = 0$, $\displaystyle\lim_{x\to4} (f(x) + 7)$ también debe ser cero, porque esta es la única manera de que el límite del cociente puede ser un número finito. También, desde la $f$ es continua (porque es diferenciable), entonces podemos decir con seguridad $\displaystyle\lim_{x\to 4}(f(x) + 7) = f(4) + 7$. Por lo tanto, $f(4) + 7 = 0$, y así tenemos el $f(4) = -7$.

Queda por encontrar $f'(4)$. Por la definición de la derivada (a veces llamado el suplente definición de la derivada), tenemos: $$ f'(4) = \lim_{x \to 4} \frac{f(x) - f(4)}{x-4} = \lim_{x \to 4} \frac{f(x) + 7}{x - 4}$$ Y nos dieron que esto es $-\dfrac32$.

Ahora conecte todos los números a donde tienen que ir, y simplificar.

Answer 2

Puesto que es diferenciable con $f$

$$f'(4)=\lim_{x\to 4}\frac{f(x)-(-7)}{x-4}=-\frac32$$

Entonces, $f(4)=-7$.

Ahora, $g(x)=\frac{f(2x)}{x}\implies g'(x)=\frac{2xf'(2x)-f(2x)}{x^2}$, de la que tenemos

$$g'(2)=\frac{4f'(4)-f(4)}{4}=\frac{-6+7}{4}=\frac14$$

Answer 3

Entonces tenes:

$$f'(4)+\lim_{x\to 4}\frac{f(4)+7}{x-4}=-\frac{3}{2}$$

por lo tanto debe tener $f(4)=-7$ porque, si no, tendrás $\frac{f(4)+7}{x-4}\to \pm\infty$ y es imposible. Además tiene $f'(4)=-3/2$. Ahora a usarlo en su expresión de $g'(2)$

Answer 4

SUGERENCIA

\begin{align} \frac{dg}{dx}(2) & = \lim{x\rightarrow 2} = \frac{g(x) - g(2)}{x - 2} = \lim{x\rightarrow 2}\frac{\displaystyle\frac{f(2x)}{x} - \frac{f(4)}{2}}{x - 2} = \lim{x\rightarrow 2}\frac{2f(2x)-xf(4)}{2x(x-2)}\ & = \lim{u\rightarrow 4}\frac{2f(u) - u\displaystyle\frac{f(4)}{2}}{u\left(\displaystyle\frac{u}{2}-2\right)} = \lim{u\rightarrow 4}\frac{4f(u)-uf(4)}{u(u-4)} = \lim{u\rightarrow 4}\frac{4f(u)-uf(4)}{u^2 - 4u}\ & \overset{\mathrm{L'H}}{=}\lim_{u\rightarrow 4}\frac{4f'(u)-f(4)}{2u-4} = \frac{4f'(4)-f(4)}{4} \end{align}