Estoy trabajando a través de Audrey Terras' Análisis de Fourier sobre Grupos Finitos con las Aplicaciones, y al final del capítulo sobre inducida representaciones, hay un ejercicio en el que se lee:
Vamos $$S = \bigcup_{i=1}^s C_i$$ where $C_i$ is a conjugacy class in a finite group $G$. Suppose $S$ is symmetric; that is, $x\in S$ implies $x^{-1}\in S$. Consider the Cayley graph $X(G,S)$. Show that the eigenvalues of the adjacency matrix of this graph have the form $$\lambda_\pi = \frac{1}{d_\pi}\sum_{s\in S}\chi_\pi(s),$$ where $\pi \en \widehat G$, and $d_\pi=$ the degree of $\pi$.
Traté de imitar la prueba de la abelian caso, que es sencillo como se puede usar el hecho de que $\chi_\pi$ es siempre un homomorphism en ese caso. Así que me gustaría saber si hay una manera de calcular directamente por el nonabelian caso, teniendo en $A$ a ser la matriz de adyacencia del grafo de Cayley, y $v_\pi=(\chi_\pi(g_1),\cdots,\chi_\pi(g_n))$$G=\{g_i\}_{i=1}^n$. Entonces donde quedo atascado en el cálculo es
$$ \begin{split} (Av_\pi)_x & = \sum_{y\in G}A_{xy}(v_\pi)_y \\ & = \sum_{x^{-1}y\in S}\chi_\pi(y) \\ & = \sum_{s\in S} \chi_\pi(xs) \\ & = \sum_{s\in S} \sum_{i=1}^{d_\pi} \pi_{ii}(xs) \end{split} $$
Hice la prueba el carácter bidimensional de $S_3$, con $S$={(123),(132)} para intentar y conseguir un poco de intuición en cuanto a por qué esto es cierto y tal vez una manera de demostrarlo, pero eso no parece ofrecer ninguna pista.
