Evaluar una integral indefinida

Question

Encontrar el valor de %#% $ #%

Mi intento: he intentado arreglar el numerador como sigue: $$\int{\frac{x^2e^x}{(x+2)^2}} dx$ $ pero eso no ayuda.

Cualquier orientación sobre este problema será muy útil.

Answer 1

<blockquote> <p>pero que no ayudan a</p> </blockquote> <p>¿No lo hizo? Se quiere, después de la división de conseguir $$ e^x\Bigl(1-\frac{4}{2+x}+\frac{4}{(2+x)^2}\Bigr). $$ Ahora, como ocurre, $$ \frac{d}{dx}\Bigl(-\frac{4}{2+x}\Bigr) = \frac {4} {(2+x) ^ 2}. ¿$$ Se puede quizás utilizar que, de alguna manera? (No quiero escribir la respuesta en su nariz)</p>

Answer 2

Otro enfoque, que $u \mapsto x+2$ y ampliar

\begin{align} \int \frac{x^2e^x}{(x+2)^2}dx &= e^{-2} \int \frac{(u-2)^2 e^u}{u^2} \,du \ &= e^{-2} \int \left( \frac{4e^u}{u^2} - \frac{4e^u}{u} + e^u \right) \, du \ &= e^{-2} \left( \int e^u \,du -4 \int \frac{e^u}{u} - \frac{e^u}{u^2}\, du \right) \ \end{align}

ahora para la segunda integral, integrar cada término por piezas, $f_0=e^u$ $dg_0=u^{-2}$ y $f_1 = -u^{-1}$, $dg_1 = e^u$,

$$ = e^{-2} \left( e^u - \frac{4e^u}{u} \right) +c$$ $$ = e^{u-2} - \frac{4e^{u-2}}{u} +c$$

y sustituir en

$$ = e^x - \frac{4e^x}{x+2} +c$$ $$ = \frac{(x-2)e^x}{x+2} +c$$

Answer 3

Otro método:\begin{align} \int \frac{x^2 \, e^{x}}{(x+2)^2} \, dx &= - \int x^2 \, e^{x} \, \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x+2}\right) \, dx \ &= - \left[ \frac{x^2 \, e^{x}}{x + 2} \right] + \int x(x+2) \, e^{x} \cdot \frac{1}{x+2} \, dx \ &= - \frac{x^2 \, e^{x}}{x + 2} + \int x \, e^{x} \, dx \ &= - \frac{x^2 \, e^{x}}{x + 2} + (x-1) \, e^{x} + c{0}\ &= \left(\frac{x-2}{x+2} \right) \, e^{x} + c{0}. \end {Alinee el}

Answer 4

Sugerencia: que $f(x) = x^2e^x$ y $g(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$ e integrar por partes.