¿Contraejemplo para el Corolario de Banach-Steinhaus?

Question

Este es el corolario bajo consideración, de las que he probado:

Si $\left\{A_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ es una secuencia de continuo, lineal de los mapas de una $F$espacio $X$ a un espacio vectorial topológico $Y$, y $\lim_{n\to\infty}A_nx=Ax$ existe para todas las $x\in X$, $A$ es lineal y acotado.

¿No es esto un contraejemplo?

Definir $A_n:c_0\to c_0$ por

$$\left(A_nx\right)_m=\begin{cases} mx_m&m\leq n,\\ 0&m>n, \end{casos}$$

donde $c_0$ es el espacio de todas las secuencias que convergen a $0$. A continuación, $x=\left(m^{-1/2}\right)_{m\in\mathbb N}\in c_0$ pero $\left(Ax\right)_m=m^{1/2}\notin c_0$ desde $\left\|Ax\right\|_\infty=\infty$.

Answer 1

Su ejemplo no satisface la hipótesis de que$\lim_{n\to\infty}A_nx$ exista para todos$x$. De hecho, para su elección de$x=(m^{-1/2})$,$A_nx$ no converge a ningún elemento de$c_0$. (Las secuencias$A_nx$ convergen puntualmente a la secuencia$(m^{1/2})$, pero esta secuencia no es un elemento de$c_0$ y, en cualquier caso, no converge con respecto a la norma suprema).