¿Están los jacobinos principalmente polarizados sobre campos no algebraicamente cerrados?

Question

¿Cómo se define el mapa de Torelli $M_g \to A_g$ de los módulos pilas ? En los puntos geométricos, una curva se corresponde con su principal polarización jacobiana.

Así que lo que estoy preguntando es: si tengo una curva $C$ sobre un campo no cerrado algebraicamente $k$ de tal manera que $C(k)$ está vacía, ¿el jacobino de C sigue estando principalmente polarizado? Después del cambio de base a $ \bar {k}$ uno tiene un divisor theta; ¿desciende? Además, ¿el pariente jacobino de una familia de curvas está principalmente polarizado?

Lo que me confunde es que el divisor theta naturalmente vive en $Pic^{g-1}$ como la imagen del mapa de la potencia simétrica $C^{g-1}$ Este es un torsor bajo $Pic_0$ pero no es en sí misma una variedad abeliana.

Además, el clásico teorema de Torelli dice que este mapa es una inyección en puntos de valor de campo. ¿Esto es en realidad una inmersión localmente cerrada de las pilas?

Answer 1

Hay una forma más realista de tratar esto, que ya se explica en el GIT de Mumford: hacer un cambio de base surjectiva fppf (o incluso etale) para adquirir una sección, usarla para definir la polarización principal, y luego mostrar que es independiente de la elección. (Razón breve: variar la elección equivale a un morfismo de la curva propia lisa a un esquema de Hom o Isom que no está ramificado sobre la base, por lo tanto constante). Así, por la teoría de la descendencia se obtiene la polarización sobre la base original.

Esto se relaciona con el mismo tema que surge al explicar por qué no es necesario que surja una polarización de un esquema abeliano como la "construcción de Mumford" $ \phi_ { \mathcal {L}}$ aunque lo hace automáticamente en las fibras geométricas (debido a la naturaleza especial de $k$ -simple conmutación finita $k$ -grupos cuando $k = \overline {k}$ ). Es decir, una definición de "polarización" que se ajusta mejor al caso relativo no es imitar lo que uno hace tradicionalmente sobre un campo algebraicamente cerrado (la construcción de Mumford) sino más bien algo que hace un uso más efectivo del paquete de Poincar'e. La posible falta de $ \mathcal {L}$ sobre la base es análoga a la posible falta de una sección de la curva para definir la polarización principal. Ver la página de Wikipedia sobre "variedades de etiquetados" para más información sobre esto. :)

Answer 2

Por cierto, cuando hice esta pregunta, alguien que sabía la respuesta entró en mi oficina.

El mapa $M_g \to A_g$ factores a través del espacio de los módulos $ \tau_g $ de pares (A,P,L) donde A es una variedad abeliana, P es un torsor de A, y L es un amplio haz de líneas sobre P que es geométricamente una polarización principal. El mapa $M_g \to \tau_g $ está dada por $C \mapsto (Pic_0, Pic_{g-1}, L( \theta ))$ donde el divisor theta en $Pic_{g-1}$ está dada por la imagen de $C^{g-1}$ .

Para construir el mapa $ \tau_g \to A_g$ note que $Pic_0(A) \cong Pic_0(P)$ para que L de hecho dé un mapa $A \to A^{ \vee }$ dado por $a \mapsto t^*_aL \otimes L^{-1}$ .

El punto es que no es necesario descender el divisor theta. La referencia a esto es el 5.1 del libro de Martin Olsson Compactación de los espacios modulares de las variedades abelianas .