Integrando a lo largo del arco equivocado

Question

He aquí una pregunta tonta a la que me gustaría publicar mi propia respuesta si yo no estuviera sintiendo demasiado perezoso ahora, pero tal vez otros puntos de vista que la mía vale la pena ver. $$ \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \frac{1}{1-\cos\theta} \,d\theta $$ Hacer la tangente de la mitad de ángulo de sustitución (a menudo llamado incorrectamente la sustitución de Weierstrass): $$ \begin{align} u & = \tan\frac\theta2 \\[8pt] \frac{1-u^2}{1+u^2} & = \cos\theta \\[8pt] \frac{2\,du}{1+u^2} & = d\theta \end{align} $$ La integral se convierte en $$ \int_1^{-1} \left( \begin{array}{c} \text{a rational function} \\ \text{that is quite simple} \\ \text{after routine algebra} \end{array} \right)\,du = \cdots\cdots $$ y todo es rutina.

Pero si usted piensa acerca de cómo $u$ se comporta como $\theta$$\pi/2$$3\pi/2$, parece que debería haber sido $$ \left(\int_1^\infty + \int_{-\infty}^{-1} \right) \left( \begin{array}{c} \text{a rational function} \\ \text{that is quite simple} \\ \text{after routine algebra} \end{array} \right)\,du = \cdots\cdots. $$ Entre dos puntos cualesquiera en la (topológico) círculo de $\mathbb R\cup\{\infty\}$ (donde $\infty$ es en ambos extremos de la línea) hay dos arcos, y hemos elegido la equivocada. Pero eso no importaba. Cuando se importa y cuando no?

Answer 1

Asumir

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx = 0$$

no en el sentido del valor principal de Cauchy. Es decir, los límites son iterados de la manera habitual o estamos usando integración de Lebesgue. Entonces podemos escribir

$$0 = \int{-\infty}^\infty f(x) \, dx = \int{-\infty}^{-1} f(x)\, dx + \int_{-1}^1 f(x) \,dx + \int_1^\infty f(x) \,dx.$$

Por supuesto todos los tres términos terminan siendo finitos, y así nos podemos cambiar esto

$$\int1^{-1} f(x) \,dx = \int{-\infty}^{-1} f(x) \,dx + \int_1^\infty f(x) \,dx.$$

Answer 2

Si no quiere preocuparse de envoltura alrededor de la línea de número, sustituto de $\theta' = \theta - \pi$ para obtener:

$$\int{\pi/2}^{3\pi/2}\dfrac{1}{1-\cos\theta}\,d\theta = \int{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{1}{1-\cos(\theta'+\pi)}\,d\theta' = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dfrac{1}{1+\cos \theta'}\,d\theta'.$$

Luego, aplicar la sustitución $u = \tan \dfrac{\theta'}{2}$ para obtener una integral de $u = -1$ $u = 1$.