Vamos a una función de $f$ ser definido y holomorphic en un barrio de el disco de $\lbrace |z|<1 \rbrace$. Supongamos que $|f(z)| \neq 0$ todos los $z$$|z| = R$. Demostrar que $$\int_{C_R(0)} \frac{f'(z)}{f(z)} dz= 2 \pi i\sum_{|a|<R} (ord_a f(z))$$ En el lado derecho, la suma se realiza sobre todos los puntos en el disco $\lbrace |z|<R \rbrace$, de tal manera que $f(a) = 0$ (en todos los otros puntos, tenemos $ord_a(f) = 0$).
Miro a la función $\frac{f'(z)}{f(z)}dz = d(log f(z))$. $log$ no es globalmente definida la función, pero en un barrio de $u_0 \neq 0$ hay una barnch de $\log$ holomorphic : $g:u \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $e^{g(z)}=z$ $\frac{1}{2\pi i} \int_{C_R(0)} d (arg(f(z)))=$ número de vueltas completas $f(z)$ hace alrededor de cero.
Por otro lado $\sum_{|a|<R} ord_a f= |\lbrace f(z)=0 \; ; \; |z|<R \rbrace$|.
¿Hice lo correcto? Y si sí, dame alguna pista para continuar.
