A mí me parece que básicamente lo que hace es pedir un algoritmo. De la que me he propuesto anteriormente falla (como señaló Mariano), así que voy a intentar otra cosa.
Descargo de responsabilidad. Yo no soy un experto en todo. Espero que no se han hecho más errores.
De referencia. Una gran referencia es Eisenbud del Álgebra Conmutativa, con una visión hacia la Geometría Algebraica.
La respuesta a su pregunta. La primera cosa que usted necesita hacer, por supuesto, es el cálculo de un conjunto mínimo de generadores para su ideal de $I$. En realidad podemos hacer más: calcular una mínima libre de resolución (véase el Eisenbud, Lema 19.4 para la definición y existencia)
$$0 \to P_r \to \ldots, \to P_0 \to I \to 0$$
de la finitely módulo generado $I$ sobre el graduado (!) anillo de $k[x_0,\ldots,x_n]$. Es un teorema que cualquier otra resolución contendrá esta resolución mínima como un sumando (ver Eisenbud, Teorema de 20.2 para el caso local, y tenga en cuenta que también funciona en el gradual caso, cf. Ejercicio 20.1). Esto justifica el nombre de "resolución mínima'.
En particular, el rango de $P_0$ es el número de generadores necesarios, y esto también es igual a la dimensión de $I/(x_0,\ldots,x_n)I$ $k$- espacio vectorial (Lema 19.4).
Una vez que usted tiene un conjunto mínimo de generadores $g_1,\ldots,g_r$$I$, es relativamente sencillo: ahora sólo tenemos que verificar que el $V(I) \subseteq \mathbb P^n$ tiene dimensión $n-r$. Por simplicidad, supongamos $r \leq n$, por lo que el $V(I) \neq \varnothing$. Tendría que pensar acerca de cómo usted puede comprobar algo es un completo intersección cuando hay más de $n$ generadores. (Por ejemplo, $(x_0,\ldots,x_n)^2$ no puede ser generado por menos de $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ elementos, sin embargo, su desaparición conjunto es vacío, que es (?) una completa intersección.)
Hay muchas maneras de proceder. Permítanme enumerar algunos:
- Uno puede tratar de calcular la trascendencia grado en el campo de $K = \operatorname{Frac} k[x_0,\ldots,x_n]/I$. En el carácter $0$, es necesario y suficiente que $\Omega_{K/k}^1$ tiene dimensión $n+1-r$, es decir, que el Jacobiano de $g_1,\ldots,g_r$ tiene el máximo rango (es decir,$r$) en el punto genérico de $k[x_0,\ldots,x_n]/I$.
- Uno probablemente puede calcular la trascendencia de grado a través de la eliminación de la teoría (de nuevo, no es un experto). Eisenbud podría contar un poco acerca de lo que quiero decir por la eliminación de la teoría.
- Los dos primeros enfoques sólo funciona al $I$ es un alojamiento ideal. En general, se puede calcular el polinomio de Hilbert de la gradual anillo de $k[x_0,\ldots,x_n]/I$. Debe ser un polinomio de grado $n-r$ $V(I)$ a ser un completo intersección. Ver Teorema 15.26 en Eisenbud para una manera de calcular el polinomio de Hilbert.
- Etc.
Así que el mejor de los casos se si $f_1,\ldots,f_s$ son un conjunto mínimo de generadores de un alojamiento ideal $I$ sobre un campo de característica $0$. En ese caso, usted sólo tiene que comprobar que el Jacobiano es genérica (en $V(I)$) de rango $s$. De nuevo, hay varias maneras de hacer esto:
- Se puede comprobar que ninguno de los $s\times s$-menores de edad es $I$. Ver Eisenbud, sección 15.10.1 para la computabilidad de los ideales de la membresía.
- Se puede comprobar que no todos los de la fuga de los loci de la $s\times s$-menores de edad contener $I$, por ejemplo, algunos geométricas argumento (esto no es un algoritmo, pero tal vez lo que lo haría en la práctica).
Ejemplo. El ejemplo lo más fácil que yo sé de algo que es no una completa intersección es el trenzado cúbicos en $\mathbb P^3$. Si la inclusión es
\begin{align*}
\mathbb P^1 &\mapsto \mathbb P^3\\
[u,v] &\mapsto [u^3, u^2v, uv^2, v^3],
\end{align*}
a continuación, se corta es por $xz-y^2$, $yw-z^2$, y $xw-yz$. Este es un conjunto mínimo de generadores, para uno puede comprobar que $I/(x,y,z,w)I$ $3$- dimensional.
El Jacobiano es
$$\left(\begin{array}{ccc}z & -2y & x & 0 \\ 0 & w & -2z & y \\ w & -z & -y & x\end{array}\right).$$
El $3\times 3$-menores de edad son
\begin{align}
3zwy-w^2x-2z^3,\\ zwx-2y^2w+z^2y,\\ -2z^2x+xyw+y^2z,\\ 3xyz-2y^3-wx^2,
\end{align}
todos los cuales son fácilmente vistas en $I$. Llegamos a la conclusión de que $V(I)$ no es un completo intersección.
Por supuesto, si ya sabíamos que estas tres relaciones son mínimas las relaciones de corte de una $\mathbb P^1$, entonces es claro que no es un completo intersección, por un fácil dimensión de conteo. Pero en general, no se sabe a priori lo que el isomorfismo tipo de la subvariedad.
