Límite inductivo frente a límite proyectivo de la secuencia de proyecciones divididas

Question

Dejemos que $$ A_1\twoheadrightarrow A_2\twoheadrightarrow A_3\twoheadrightarrow A_4\twoheadrightarrow \cdots $$ sea una secuencia inductiva de grupos abelianos, cuyos homomorfismos de conexión son suryentes y dividir es decir, tenemos incrustaciones $A_{n+1}\rightarrowtail A_n$ tal que el diagrama \begin{array}{ccccccccc} A_n & \twoheadrightarrow & A_{n+1}\\ \uparrow & & \uparrow\\ A_n & \leftarrowtail & A_{n+1} \end{array} desplazamientos por cada $n$ . Aquí las flechas verticales denotan homomorfismos de identidad. Esto significa que $A_{n+1}$ es un sumando directo de $A_n$ .

Dejemos que $\varinjlim A_n$ denotan el límite inductivo del sistema $$ A_1\twoheadrightarrow A_2\twoheadrightarrow A_3\twoheadrightarrow A_4\twoheadrightarrow \cdots $$ y que $\varprojlim A_n$ denotan el límite proyectivo del sistema $$ A_1\leftarrowtail A_2\leftarrowtail A_3\leftarrowtail A_4\leftarrowtail \cdots. $$ Obtenemos un mapa inducido $$ \varprojlim A_n\to\varinjlim A_n. $$ Pregunta: ¿Es el mapa $\varprojlim A_n\to\varinjlim A_n$ ¿es necesariamente un isomorfismo?

Answer 1

No. He aquí un contraejemplo: tomamos $A_i = \mathbb{Z}^{\times \mathbb{N}}$ con todos los homomorfismos $A_i \to A_{i+1}$ siendo el operador de desplazamiento a la izquierda y los desdoblamientos $A_{i+1} \to A_i$ el operador de desplazamiento a la derecha. A continuación, $\varinjlim A_\bullet \ne 0$ porque la secuencia $(1, 1, 1, \ldots)$ no puede aniquilarse después de un número finito de pasos, pero $\varprojlim A_\bullet = 0$ porque podemos reescribir la cadena inversa $$A_1 \leftarrowtail A_2 \leftarrowtail A_3 \leftarrowtail \cdots$$ como una cadena decreciente de subespacios de secuencias que tienen la primera entrada no nula en la posición $i$ y la única secuencia que está en todos estos subespacios es la secuencia $(0, 0, 0, \ldots)$ .