El volumen es una función continua

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Supongamos que $C \subset \mathbb{R}^d$ es un conjunto compacto y no vacío. Sea $C_0 = C$ y que $C_t = \{x \in \mathbb{R}^d : d(x,C) \leq t \}$ para todos $t >0$ . Además, deja que $g(t) = m(C_t)$ , donde $m$ es la medida de Lebesgue.

(i) Demuestre que g es continua hacia la derecha.

(ii) Demuestre que para $t > 0$ el conjunto $\{x \in \mathbb{R}^d : d(x,C) = t \}$ tiene medida de Lebesgue $0$ .

(iii) Utilizando la parte (ii), demuestre que $g$ también se deja continua.

Para la parte (i), estoy pensando en utilizar el hecho de que el límite de $m(C_t)$ como $T$ llega a 0 es $m(C)$ (Creo que esto es cierto, por ejemplo, véase una afirmación muy similar en Stein y Shakarchi, Measure Theory, capítulo 1 ejercicio 5). Además, para la parte (ii) creo que un esquema de la prueba es el siguiente: considere un punto $x_0$ tal que $d(x_0,C)=t$ y luego mostrar que la densidad de ${x: d(x_0,C)<t}$ en un es $\geq 1/2$ . Entonces tenemos que aplicar el Teorema de la Diferenciación de Lebesgue a ${ x: d(x,C)=t }$ . No estoy seguro de cómo completar este argumento. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $x_n$ sea una secuencia que converge monotónicamente a $t$ de la derecha. Entonces, $$C_t = \bigcap_n C_{x_n}.$$ Por continuidad de medida tenemos entonces $$g(t) = m(C_t) = \lim_{n \rightarrow \infty} m(C_{x_n}) = \lim_n g(x_n).$$