¿Por qué las funciones propias lineales son independientes?

Question

En un problema de Sturm-Liouville, ¿cómo sabemos que las dos funciones propias que hemos encontrado son lineales independientes?

Por ejemplo, tenemos el siguiente problema:

ps

Encontramos que para$$X''+\lambda X=0 \\ X(0)=X(2\pi) \\ X'(0)=X^\circ(2\pi)$ tenemos$\lambda=k^2>0$.

Tenemos dos eigenfunciones independientes lineales$X(x)=c_1\cos (kx)+c_2\sin (kx)$.

¿Cómo sabemos que estas dos funciones propias son lineales independientes?

Answer 1

Supongamos que ese $\{v_j\}$ son vectores propios con distintos autovalores $\{\lambda_j\}$ y que $$ \sum_{j=1}^na_jv_j=0\etiqueta{1} $$ Para cualquier $k$ hemos $$ \begin{align} 0 &=T^k\sum_{j=1}^na_jv_j\\ &=\sum_{j=1}^na_j\lambda_j^kv_j\tag{2} \end{align} $$ Para $0\le k\le n-1$, $(2)$ puede escribirse como $$ 0=\begin{bmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ \lambda_1&\lambda_2&\lambda_3&\cdots&\lambda_n\\ \lambda_1^2&\lambda_2^2&\lambda_3^2&\cdots&\lambda_n^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda_1^{n-1}&\lambda_2^{n-1}&\lambda_3^{n-1}&\cdots&\lambda_n^{n-1}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1v_1\\a_2v_2\\a_3v_3\\\vdots\\a_nv_n \end{bmatrix}\etiqueta{3} $$ Puesto que el $\lambda_j$ son distintos y la matriz cuadrada de $(3)$ es una Matriz de Vandermonde, sabemos que su determinante es $$ \prod_{i\lt j}(\lambda_j-\lambda_i)\ne0\etiqueta{4} $$ Por lo tanto, cada una de las $a_j=0$ y por lo tanto los vectores propios son independientes.