¿Cómo calcular $\lim _{x\to \infty }\left(\ln\left(\frac{e^x-1}{x}\right)-x\right)$?

Question

Tengo un problema con este límite, no sé qué método utilizar. No tengo idea cómo computarlo. ¿Puede explicar el método y los pasos utilizados? Gracias

$$\lim _{x\to \infty }\left(\ln\left(\frac{e^x-1}{x}\right)-x\right)$$

Answer 1

Observe que $x = \ln(e^x)$, por lo tanto la expresión original se puede escribir como $$\ln\left(\frac{e^x - 1}{xe^x}\right)

Answer 2

Puede escribir, como $x \to \infty$, $$\begin{align} \ln\left(\frac{e^x-1}{x}\right)-x&=\ln\left(e^x\times\frac{1-e^{-x}}{x}\right)-x\\&=\ln(e^x)+\ln\left(\frac{1-e^{-x}}{x}\right)-x\\&=\ln\left(1-e^{-x}\right)-\ln x\\&\sim -\ln x \end {alinee el} $$ tending to $-\infty$.

Answer 3

Escriba $\ln\frac{e^x-1}{x}-x=\ln\frac{e^x-1}{x}-\ln e^x=\ln\frac{e^x-1}{xe^x}=\ln (\frac{e^x}{xe^x}-\frac{1}{xe^x})=\ln (\frac{1}{x}-\frac{1}{xe^x}).$

$ x \to \infty, \frac{1}{x}-\frac{1}{xe^x} \to 0$. Desde $\lim_ \limits{x \to 0} \ln x \to -\infty$, acerca a nuestro límite original $- \infty$.

Answer 4

Me gustaría probar lo siguiente:

$$ \lim{x \rightarrow \infty} \left( \ln{\left( \frac{e^x - 1}{x} \right)} - x \right) = \lim{x \rightarrow \infty} \left( \ln{\left(e^x - 1 \right)} - x \right)- \lim_{x \rightarrow \infty}{\ln{x}}$$

Puede mostrar que el primer término tiende a cero y así el segundo término es el límite de lo que evalúa que, como da a $x \rightarrow \infty$ $-\infty$.

Answer 5

$$\frac{\mathrm e^x-1}x= \frac{\mathrm e^x(1-\mathrm e^{-x})}x,$ $ por lo tanto, $$\ln\frac{\mathrm e^x-1}x-x= -\ln x+\ln(1-\mathrm e^{-x})=-\ln x+o(1)\xrightarrow[x\to\infty]{}-\infty.$ $