Cómo comprobar algunos conceptos topológicos en espacios de suma directa y producto

Question

Dado $a=(a_i)_{i=1}^\infty$$a_i \geq 0$$b=(b_i)_{i=1}^\infty$$b_i \in \mathbb{R}$, vamos a $$E_i = \lbrace (x_n)_{n=1}^\infty : n^{b_i}|x_n|\leq a_i, \forall n\in \mathbb{N} \rbrace$$ y $E= (E_i)_{i=1}^\infty$

La pregunta pide criterio para las secuencias de $a$ $b$ tal que $E$ a ser delimitada en ${\oplus}_{p=1}^\infty \ell_p$ y precompact(totalmente acotada) en $\Pi_{p=1}^\infty \ell_p$.

Mi primer pensamiento fue que utilizar el Teorema de Tychonoff(El producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto, con respecto a la topología producto) porque su diseño compacto requiere acotamiento y precompactness. Pero no podía entenderlo.

Estoy estudiando para el mediano plazo, que en una semana, así que estoy agradecido por cualquier ayuda/sugerencias.

Answer 1

Parece que el siguiente.

Poner $\mathcal L={\oplus}_{p=1}^\infty \ell_p$$\widehat{\mathcal L}=\Pi_{p=1}^\infty \ell_p$. Muchas pueden ser las normas en $\mathcal L$, pero al menos espero que la restricción $\|\cdot\||_{\ell_p}$ de la norma $\|\cdot\|$ que considera en $\mathcal L$, coincide con la norma estándar $\|\cdot\|_p$$\ell_p$, que es, naturalmente, incrustado en $\mathcal L$.

Considero $\widehat{\mathcal L}$ como un grupo topológico dotado de una Tychonoff producto de la topología. Es fácil comprobar que el conjunto de $E$ considera como una suma directa de ${\oplus}_{p=1}^\infty E_p$ (o, incluso, un producto de $\Pi_{p=1}^\infty E_p$) es totalmente acotado en $\widehat{\mathcal L}$ fib cada conjunto $E_p$ es totalmente acotado en $\ell_p$.

El conjunto $E_p$ pertenece a $\ell_p$ fib $M_p=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{a_p}{n^{b_p}}\right)^p<\infty$, que es el fib $a_p=0$ o $pb_p>1$. Si es así, entonces el conjunto $E_p$ está delimitado en $\ell_p$ (debido a $\|x\|_p\le M_p^{1/p}$ para cada secuencia $x\in E_p$). Con el fin de que $E$ está delimitado en $\mathcal L$ tener $M=\sup_p M_p^{1/p}<\infty$. Si es así, entonces el acotamiento de la $E$ $\mathcal L$ depende de la norma $\|\cdot\|$. Por ejemplo, supongamos $y=(y_p)\in\mathcal L$. Si $\|y\|=\sup_p \|y_p\|$$y=(y_p)\in\mathcal L$, $\|z\|\le M$ por cada $z\in E$. Si $\|y\|=\sum_p \|y_p\|$, $E$ está delimitado en $\mathcal L$ fib todos, pero un número finito de $M_p$ son ceros. Si $\|y\|=\left(\sum_p \|y_p\|^q\right)^{1/q}$, $E$ está delimitado en $\mathcal L$ fib $\sum_p M_p^{q/p}<\infty$.

Por último, el conjunto de $E_p$ es totalmente acotado en $\ell_p$ fib $M_p=0$. De hecho, si $M_p=0$ $E_p=\{0\}$ es totalmente acotado conjunto. Si $M_p>0$$a_p>0$, por lo que el conjunto de $E_p$ contiene una secuencia $\{e^{p,m}\}$ (debido a $0\le a_p$$n^{b_p}|a_p|\le n^0|a_p|=a_p$), donde $e^{p,m}_n=0$ si $m\ne n$ $e^{p,m}_n=a_p$ si $m=n$. Pero si $m\ne m' $$\|e^{p,m}- e^{p,m'}\|=\left(2a_p^p\right)^{1/p}=2^{1/p}a_p$. Así que el conjunto $E_p$ no es totalmente acotado.