Una pregunta sobre productos internos en espacios vectoriales abstractos

Question

He estado leyendo algunos de los materiales y, por n-ésima vez en mi vida, no había una definición de interior de un producto como una función de $V \times V \rightarrow F$ donde $V$ es un espacio vectorial abstracto y $F$ está en la base de los escalares del campo.

Sin embargo, me puse a pensar. Producto interior es de esta función especial que nos da un número, ¿verdad? Con el fin de obtener un número, usted debe trabajar con números.

Ahora, en general, nuestra abstracto vectores no son secuencias de números, matrices, pares ordenados, polinomios o lo que sea, son solo eso, abstracto vectores. La única cosa que une a estos vectores con algunos de los números son las coordenadas con respecto a alguna base. Y en ese caso, se realizó un isomorfismo del espacio vectorial $R^n$ (si n es la dimensión del espacio vectorial), por lo que podemos considerar efectivamente sólo $R^n$ en ese caso, por lo que no vamos a hacer eso.

Lo que yo estoy haciendo aquí, es ¿cómo es posible construir un producto interior en un espacio vectorial abstracto? ¿Cómo podemos tomar dos ordinario abstracto vectores y obtener un número de fuera de ella? Usted no puede suma de estos vectores, no se puede multiplicar, etc., no son números. Solo se puede hacer con sus coordenadas. Y si haces eso, entonces usted no es la definición de un producto interior en un espacio vectorial, se ha definido un producto interior en $R^n$ y está utilizando el isomorfismo que indirectamente definir interior del producto en otros espacios vectoriales de la misma dimensión. Que no puede ser a la derecha, se puede?

Answer 1

Puede elegir una base y definir producto interno especificando lo que hace a una base.

Pero esto es un tanto insatisfactoria. En la práctica, cómo usted va acerca de escribir un producto interno significativo en $V$ depende de cómo se construye el $V$ sí mismo. Por ejemplo, si $V$ es, digamos, un espacio de funciones real-valued en un % de espacio de medida $(X, \mu)$, entonces un producto interno natural escribir es

$$\langle f, g \rangle = \int_X f(x) g(x) \, d \mu$$

siempre que esta integral converge siempre.

Answer 2

Que $V$ sea un espacio lineal arbitrario sobre $F\in{\mathbb{R},\mathbb{C}}$. Considerar algunas bases de Hamel de $V$, denotan ${e\lambda:\lambda\in\Lambda}$. Entonces cada $v\in V$ tenemos una familia de números ${v\lambda:\lambda\in\Lambda}\subset F$ tal que v $$ = \sum\limits {\lambda\in\Lambda} v\lambda e\lambda\tag {1} $$ Nota que solamente finito muchos números en ${v\lambda:\lambda\in\Lambda}$ son distintos de cero, así $(1)$ está bien definida. A continuación, puede definir producto interno por $ \langle v, w\rangle =\begin{cases}\sum\limits{\lambda\in\Lambda} v\lambda w\lambda &\quad\text{ if }\quad F=\mathbb{R}\\sum\limits{\lambda\in\Lambda} v\lambda \overline{w\lambda} &\quad\text{ if }\quad F=\mathbb{C} \end{casos} \tag {2} $$ se puede comprobar que $\langle\cdot,\cdot \rangle :V\times V\to F$ producto interno bien definido.