Calcular el $\sqrt{5}$, usando el desarrollo en serie de taylor a la precisión de 3 dígitos después de que el punto de $(0.5*10^{-3})$.

Question

Necesito calcular el $\sqrt{5}$, usando el desarrollo en serie de taylor a la precisión de 3 dígitos después de que el punto de $(0.5*10^{-3})$.

He definido : $$f(x)=\sqrt{x}$$

Por lo tanto :

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ $$f''(x)=-\frac{1}{4\sqrt{x^3}}$$ $$f'''(x)=\frac{3}{8\sqrt{x^5}}$$

para $x=5$ :

$$|R_2(5)|=|\frac{f^{(3)}(c)}{3!}|=|\frac{\frac{1}{8\sqrt{c^5}}}{3!}|=|\frac{1}{3!*8\sqrt{c^5}}|$$

Me quedé atrapado ahora, ¿cómo puedo evaluar: $$???\geq|{3!*8\sqrt{c^5}}|$$

También, me pregunto cuántos de los derivados necesito calcular finde para llegar a la precisión requerida, hay una manera de averiguar?

Sólo tomé un arbitrario supongo que a la tercera derivada.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Algunos comentarios:

• Para realizar una aproximación mediante series de Taylor, usted va a querer elija un punto para su expansión. Yo sugeriría tomar la Taylor la expansión de alrededor de $x = 4$, ya que las raíces cuadradas será fácil tomar. Esto significa que usted tiene que evaluar los coeficientes de Taylor directamente en la expansión de la $f(4) + f'(4)(x-4) + \frac{f''(4)}{2}(x-4)^2 + \dots$, antes de que puedas conectar $x=5$ para obtener su estimación.

• Su fórmula para la tercera derivada es malo. Podría ser más fácil a ver por qué si escribes $f''(x)$ en la forma $(-1/4)x^{-3/2}$.

• Cuando usted obligado el error, recuerde que tomar recíprocos de positivo cantidades invierte las desigualdades. Mus $|1/\sqrt{c^5}| \le 1/$ is equivalent to $|\sqrt{c^5}| \ge$.

• Usted necesita saber que $n$ es lo suficientemente grande tal que el $n$-ésimo error es convenientemente pequeño.Una manera de averiguar cómo muchos términos que son necesarios para una precisión especificada es encontrar una expresión para un razonable límite superior en el error como una función de la $n$, pero adivinar y comprobar también es factible como una aproximación. $n$-th resto término como una función de $n$.

• Parece que estás usando en el resto de Lagrange fórmula para el error, pero sin el habitual $(x-a)^3$ plazo.

Answer 2

La serie de Taylor de $x\mapsto\sqrt{1+x}$ está dado por $$\sqrt{1+x}=1+{x\over2}-{x^2\over8}+{x^3\over16}+\ldots\qquad\bigl(|x|<1\bigr),$$ y es alterna al $0<x<1$. Por lo tanto el error después de truncar se entre $0$ y el primer descuidado plazo. Nuestro objetivo ahora es usar esto con un pequeño adecuado $x>0$. Escribimos $$\sqrt{5}=\sqrt{4.84+0.16}=\sqrt{4.84}\>\sqrt{1+{0.16\over 4.84}}\ .$$ Esto le da $$\sqrt{5}=2.2\sqrt{1+x}=2.2\>\left(1+{x\over2}-{x^2\over8}+R\right)$$ cual $$0<x:={0.16\over4.84}<0.04$$ y $$0<R<{0.04^3\over16}=0.000004\ .$$ De ello se sigue que $$\sqrt{5}=2.2\>\left(1+{x\over2}-{x^2\over8}\right)=2.236063110\ldots$$ con un error de $<0.00001$. El primer decimal de $\sqrt{5}$$2.236067977$.

Answer 3

la serie de Taylor de $y=\sqrt{x+4}$ es $$y=2+\frac{x}4{}-\frac{x^2}{64}+\frac{x^3}{512}-\frac{5x^4}{16384}+....$$ para obtener $\sqrt{5}$ puesto $x=1$